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Grrundkörper, K der relativ-zyklische Oberkörper, f sei ein Ideal von Ä:, 

 das alle Primideale der Relativdiskriminante von K in bezug auf k 

 enthält, und zwar einfach, wenn es zum Relativgrad teilerfremd, zu 

 einer bestimmten Potenz, wenn es im Relativgrad enthalten ist. Mit f 

 als Führer bilde man den Strahl in h. Dann gelten u. a. die Sätze : 



1 . Satz : Alle Primideale einer Strahlklasse fmod. f) in k zerfallen 

 in K in gleicher Weise. 



Zwei Ideale von /.; heissen äquivalent (mod. /), wenn ihr Quotient 

 durch Multiplikation mit Einheiten von k zu einer Zahl a gemacht 

 werden kann, die total positiv ist und der Bedingung genügt : 



a^l (mod. f) 



2. Satz : Alle Ideale der Hauptstrahlklasse (mod. f) zerfallen in K 

 in so viele Primideale^ als der Relativgrad beträgt. 



Ich greife aus der Diskriminante des gegebenen GaZoisschen Körpers 

 K alle Primzahlen heraus und bilde, wie oben, aus demselben den Führer /". 

 Für alle nicht in f enthaltenen Primideale stimmt der Trägheitskörper 

 mit dem Körper K überein. Letzterer ist relativ-zyklisch vom Grrade n 

 in bezug auf den Zerlegungskörper eines Primideals ^ (d. h. dessen 

 Norm ist :)p '*) . Die Zerlegungsgruppe (Relativgruppe) sei 1, z, z- . . . z^^~^. 

 Aus den Folgerungen, die Satz 1 und 2 zulassen, greife ich folgende heraus : 



Die Zerlegungsgruppe 1, z, . . . z'"'~^ ist Untergruppe der Zerle- 

 gungsgruppe jedes Primideales des Zerlegungskörpers, das in letzterem 

 dem Primideal :p (mod. f) äquivalent ist. Ist 1^ z, . . . z''^"^ nicht Unter- 

 gruppe einer cyklischen Untergruppe der öaZo/sschen Gruppe, so haben 

 alle zu p (mod. f) äquivalenten Primideale des Zerlegungskörpers letztern 

 zum Zerlegungskörper. Ist n > 1, so ist p niemals Hauptideal (mod. f) 

 im Zerlegungskörper, 



Nimmt man also umgekehrt irgend eine Untergruppe 1, z, . . .z'^~^ 

 der GaloisBohen Körpergruppe, die „die grösste" ist, d. h. die nicht 

 Untergruppe einer andern zyklischen Untergruppe ist, so bilde man den 

 zu 1, z, . . . s"~^ gehörigen Unterkörper k. Alle Primideale von ä;, die 

 nicht ersten Grades sind, zerfallen in Ä in w Primideale. Alle Primideale 

 derselben Strahlklasse (mod. f) in k besitzen denselben Zerlegungskörper. 



Die Beweise der Sätze 1 und 2 sind bisher noch nicht allgemein 

 publiziert worden. Es können drei Methoden zum Ziele führen : Die 

 Furtwänglersche Methode der Reziprozitätsgesetze, meine Methode der 

 Klassenstrahlen und Einteilung in Geschlechter und die analytische 

 Methode von Hecke mit Hilfe seiner Funktionalgleichung. 



8. S. Bays (Fribourg). — Une question de Cayley relative au -problème 

 des triples de Steiner.^ 



^ Mathematica! Papers I p. 481 ou Phil. Magazine 37 (1850) p. 50. 



Voir aussi Netto Combinatorik p. 202 — 235 et partie, page 228. 



Dans l'Enseignement Mathématique (n" 1/2, 1917), j'ai établi 2 solutions 

 différentes du problème de Cayley pour 9 éléments. J'ai donné précisément en 

 commençant la démonstration de Cayley pour 15 éléments, parce que intéres- 

 sante et simple, sans songer à douter de la prétention sur laquelle elle repose. 



