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Cayley a soulevé, relativement au problème des triples ou triades 

 de Steiner, une question intéressante et difficile, jusqu'ici neuve encore 



JV" ^A^ 1) (N 2) 



de toute recherche : Est-il 'possible de répartir les triples 



de N éléments en N — 2 systèmes de Steiner ? 



Pour 7 éléments cette répartition n'est pas possible ; on peut écrire 

 2 systèmes de Steiner de 7 éléments, n'ayant pas de triples communs, 

 mais pas davantage. Cayley s'est demandé si par exemple les 455 triples de 

 15 éléments pourraient être disposés en 13 systèmes de Steiner. Il a 

 cru donner une démonstration très simple que si les 13 systèmes existent, 

 (et Cayley dit en terminant qu'il ne le pense pas), ils ne peuvent pas 

 se déduire de l'un d'entre eux par une permutation cyclique de 13 de 

 ces éléments. Mais sa démonstration repose sur une prétention qui se 

 trouve être entièrement fausse. Cayley prétend que dans ce rectangle 



des couples des 



13 



éléments 0, 



1, 2, 





-,9, 



0', 1' 



2', disposés 



de la 



manière suivante : 





















01 12 23 



34 



45 



56 



67 



78 



89 



90' 



O'I' 



l'2' 



2'0 



02 13 24 



35 



46 



57 



68 



79 



80' 



91' 



0'2' 



l'O 



2'1 



03 14 25 



36 



47 



58 



69 



70' 



81' 



92' 



O'O 



l'I 



2'2 



04 15 26 



37 



48 



59 



60' 



71' 



82' 



90 



O'I 



l'2 



2'3 



05 16, 27 



38 



49 



50' 



61' 



72' 



80 



91 



0'2 



l'3 



2'4 



06 17 28 



39 



40' 



51' 



62' 



70 



81 



92 



0'3 



l'4 



2'5 



il n'existe qu'un seul système de 6 couples, ayant un couple dans cha- 

 que ligne et renfermant les 12 éléments 1, 2, . . . 1', 2', à savoir le 

 système suivant: 67, 2'1, 58, l'2, 49, 0'3. Or il en existe 144 autres, 

 remplissant les mêmes conditions; ces systèmes vont par couples de sys- 

 tèmes que j'appellerai conjugués, déductibles l'un de l'autre par la sub- 



N t N-\-l 



stitution \x, N-x\. Le système 1,N — 1; 2, N — 2;. . .; — ; — , — - — 



donné par Cayley, est le seul identique à son conjugué ou self-conjugué. 

 Pour 6n-\-3 éléments, lorsque 6n-\-l est un nombre premier, (cas de 

 15 éléments de la démonstration de Cayley), et pourôw-f-/ éléments, 

 lorsque 6n — 1 est un nombre premier de la forme 4x — 1, je peux donner 

 un système général de couples, remplissant les conditions demandées par 

 Cayley, différent de son conjugué et donc autre que le système self-con- 

 jugué, au moyen d'une racine primitive a de 6n-\- 1^ resp. de 6n — 1. 

 Pour 9 éléments, ce système avec son conjugué et le système self-conju- 

 gué, permettent de construire immédiatement le système de Steiner suivant : 



780 713 726 745 815 823 846 016 025 034 124 356 



que la substitution cyclique (0123456) transforme successivement en 6 



autres systèmes de Steiner différents par tous les triples, et renfermant 



donc avec le premier les 84 triples de 9 éléments. 



Le manque de place ne me permet pas de développer davantage 



N(N—1) (N—2) 

 la question ; mais le problème de Cayley : Répartir les — 



