A= i I -_i^ilII du dv. 



— li- 

 si notre courbe est l'image du périmètre du rectangle (a, 6; a', b') 

 dans une correspondence continue 



X = X (u, v), y =^]) (u, v), (a<,x < a')^ (^ ^V ^ ^')î 

 le problème se pose de transformer l'expression obtenue dans l'intégrale 

 double bien connue 



*«' Çb' d (X, y) 

 a J h d (u, v) 



Prenons maintenant une correspondance continue et biunivoque 



x-=^x (u, v)^ y = y (u, '^)> z = z (u, v) 



et divisons le rectangle fondamental en rectangles partiels, dont les 

 côtés, parallèles à u^= o, v = o, ne dépassent pas ô en longueur. 



Ayant formé la somme ^^ ^ des aires des courbes images de ces rec- 

 tangles partiels, nous laissons ô tendre vers zéro. Si %^ ^ a une limite 

 unique ^.i celle-ci est l'aire de la partie de la surface, image biunivoque 



du rectangle fondamental. 



Le théorème principal obtenu est le suivant: Si x (u^ v), y (Uyv), 

 z (Uf v) sont des hdégrales par rapport à u, ayant des dérivées partielles 

 par rapport à u qui sont^ sauf pour un ensemble de valeurs de u de mesure 

 nulle ^ toutes inférieures à une fonction sommable de u, et si la même chose 

 est vraie quand nous changeons u en v et v en u, la surface image du 

 rectangle fondamental a une aire A donnée par la formule 



A- 



b' lld(y,z)\^ 



' \d (U, vjl ' \d (a, V) I 



a J b Y \ d (u, v), 

 Dans certaines conditions l'auteur arrive au même but par une méthode 

 de triangulation. Il faut cependant introduire explicitement l'ordre double 

 de la surface, de même que dans l'approximation de la longueur d'une 

 courbe, il est nécessaire de tenir compte du sens de cette courbe. Notre 

 triangulation est obtenue en joignant convenablement par des lignes 

 droites les points de la surface images des sommets des rectangles 

 partiels de longueur < h et de hauteur < k dans le plan des (u, v). 

 Pour calculer l'aire nous laissons d'abord k et puis h tendre vers zéro, 

 et nous obtiendrons le résultat voulu dans certains cas intéressants. 

 Sans donner les conditions les plus générales, nous remarquons que, si 

 x (u, v), y (u, v) et z (a, v) sont des intégrales doubles, cette méthode 

 est valable, d'autant plus que la limite obtenue est dans ce cas indé- 

 pendante de la manière dont k et h tendent vers zéro. 



