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Eine solche Verteilungstafel besagt, wie oft jeder a-VVert der Zäh- 

 lung oder Messung sich ergeben hat. Wird die Summe aller z-Werte 

 definiert durch 



m = zi-|~2;2 + Z3-(---- + 2n 2) 



so ist diese Summe aller relativen Häuflgkeits- oder Wahrscheinlichkeits- 

 werte stets gleich 



1 = ^^ + -^-^ + -- + . . . + -^ ^^ 



m m m ' m 



Die z-Werte sind also die Häufigkeiten die den Grössenstufen 

 (a-Werten) zukommen. Den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrech- 

 nung zufolge dürfen wir aber, um die Gesetzmässigkeiten kennen zu 

 lernen, welche die Verteilung der z-Werte über den Bereich der a-Werte 

 regeln, nicht einfach nach Belieben einzelne Werte herausgreifen und 

 bevorzugen. Es hat vielmehr jeder Wert der Verteilungstafel grund- 

 sätzlich gleichen Anspruch auf Berücksichtigung wie jeder andere. Die- 

 sem Grundsatz vermögen lediglich Mittelwertbestimmungen zu genügen, 

 welche in einer für den Durchschnitt aller Fälle gültigen Weise die 

 Verteilung der z-Werte hinsichtlich ihrer Grösse und Lage charak- 

 terisieren. 



Bestimmt man ein mit dem arithmetischen Mittel ganz oder nahezu 

 übereinstimmendes Reihenmittel (c) auf Grund der Definitionsgleichung 



m ?/ 1 ^ z 1 (a 1 — c) -f- z 2 (a 2 — c) -|- . . . -|- Zn (»n — c) 4) 



so ist die Ableitung der Mittelwerte aus der Verteilungstafel, in welcher 

 nunmehr die Abweichungen vom Reihenmittel (c) gleichwertig die ur- 

 sprünglichen Grössenstufen vertreten, ersichtlich aus der allgemeinen 

 Definitionsgleichung 



m?/'^] = zi (ai — c) '^ -(- zs (as — c) '' -|- . . . -J- Zu (au — c) '' 5) 



Die Mittelwerte zweiter Ordnung {rfi) sind Stretmngsmasse und 

 nehmen für das durch rji definierte Reihenmittel (c) den kleinst mög- 

 lichen Betrag an; sie werden um so grösser, je grösser das Gebiet 

 der a- Werte ist, über welches die z-Werte sich verteilen. Die Mittel- 

 werte ungerader Ordnung >/i, 7y%, -tfb . . . ) sind die Kennzeichen 

 einer asymmetrischen Verteilung, sofern ihre Beti'äge mit negativem oder 

 positivem Vorzeichen von Null verschieden sind. 



Auf Grund dieser Mittelwertbestimmungen können die Gesetzmässig- 

 keiten, welche die Verteilung der z-Werte in jeder Verteilungstafel 

 regeln, unmittelbar verglichen werden mit den für jede andere Ver- 

 teilungstafel gültigen Verteilungsgesetzen. 



Solche Mittelwertsysteme gestatten die allgemein gültige Beant- 

 wortung von Fragen nach der Bedeutung normaler und kritischer Worte, 

 die den biologischen Entwicklungsproblemen im weitesten Sinne zugrunde 

 zu liegen pflegen; z. B. die Beantwortung der Frage: „Welche Bedeu- 

 tung kommt den extrem hohen oder extrem niedrigen empirischen Häufig- 

 keiten eines räumlich und zeitlich bestimmt umgrenzten Entwicklungs- 



