156 



Cor = jux -\- Cot 



1 — lu' 



1 + ^^ 



qui enveloppe la courbe 



Cot 



4- ju 



Cot =^ Cot 



(1 4- /^') ' 



1 + 4/^2 



/^' 



La droite 4. découpe sur ou et ou' des segments égaux. La 

 courbe qu'elle enveloppe est une hypocycloïde à trois rebroussements. 



2. G. PoLYA (Zurich). — Sur les fonctions entières. 



Soit g (z) = ao -j- ai z -[-02 s^ -|- . . . une fonction entière, M (r) le 

 maximum de |p'(2)| dans le cercle |s|<r, N(r) le nombre de zéros 

 de g (z) dans le même cercle, n (r) l'indice du plus grand des termes 



ao 



ai 



02 r 



A ■= ^^"'^ — 



Ig Ig M (r) 



l'ordre apparent de g {z). 



r = oo Ig r 



I. D'un théorème général sur les suites infinies découlent les inéga- 

 lités suivantes : 



lim ^ i^') ^ , ^ ~ü^ n (^) 



(1) 



<C A < ^*"* 



7- = 00 l(j M (r) 



Um N (^) 



r = 00 ly M (r) 



lim N (r) 

 > ^ ^ 7"^^^ Ig M (r) = ' 



Il existe une fonction cp (A), s'annullant pour A 

 positive, quand A n'est pas entier, et telle que 



N (r) 



>(pU) 



0, 1, 2, 3, . 



(3) 

 On a 



1 



lim 



r=oo Ig M {r) == 



sin 71 A 



<P U) = 



71 



A2^-Ä , , 



A-ld 



pour < ^ < 1 

 X 



(p{A) i2—A){A~l) 



(1 + ;^)^ 



pour 1 <^ < 2. 

 Les inégalités données ne sauraient être resserrées d'avantage, le 

 signe = étant valable pour certaines fonctions particulières. P. ex. les 

 inégalités (2) et (3) se changent en égalités pour o (z) resp. pour 

 i (^ z ); o (z) désigne la fonction de Weierstrass, un carré étant pris 

 comme parallélogramme des périodes, ^(2;) désigne la fonction de Riemann, 



II. Si 



ai 



2 



a2 



2 

 + 



as 



«0 





ai 





a 2 



H- 



converge, le genre de g (z) est 



ou 1. La démonstration se base sur un théorème d'algèbre de 

 M. /. Schur. Une autre démonstration, se basant sur des considérations 

 moins particulières, serait désirable parce qu'elle devrait probablement 

 s'écarter des méthodes usuelles. 



