3. Leon Lichtenstein (Berlin) — Ueher die mathematischen 

 Probleme der Figur der Himmelskörper. 



Die Figur der Himmelskörper hat seit der Erfindung der Infini- 

 tesimalrechnung zahlreiche führende Mathematiker beschäftigt, im 

 XVIII. Jahrhundert Maclaurin, d'Alembert, Clairaut, Legendre und 

 namentlich Laplace, der diesem Gregenstand den zweiten Band seiner 

 Mécanique Céleste widmete. Im XIX. Jahrhundert brachten zunächst 

 Untersuchungen von Dirichlet, Jacobi, Liouville und Riemann über 

 Flüssigkeitsellipsoide, später namentlich Arbeiten von Poincaré (1885) 

 und LiapounoÄ (1884) einen weiteren Fortschritt. 



In einer bekannten Arbeit in den Acta mathematica (1885) spricht 

 Poincaré den folgenden Satz aus. Sei T eine zu dem Werte co der 

 Winkelgeschwindigkeit gehörige Gleichgewichtsfigur einer rotierenden 

 homogenen Flüssigkeit. Im allgemeinen gehört zu jedem von co wenig 

 verschiedenen Werte co -j-zJ co der Winkelgeschwindigkeit eine neue 

 Gleichgewichtsfigur T\ in der Umgebung von T. In besonderen Fällen 

 kann indessen zu cx)-\~Aco {Aco'^o oder zlco<Co) mehr als eine oder 

 auch gar keine Figur gehören, „in T tritt eine Verzweigung der Gleich- 

 gewichtsfiguren ein." Der von Poincaré für seine grundlegenden Sätze 

 gegebene Beweis hat nur einen heuristischen Wert. In dem besonderen 

 Falle der Maclaurinschen und Jacobischen Ellipsoide ist der vollständige 

 Beweis von Liapounoff in einer Reihe grundlegender Abhandlungen, die 

 in den Jahren 1903 bis 1916 erschienen sind, geliefert worden. Die 

 Arbeiten von Liapounoff enthalten daneben noch die vollständige Er- 

 ledigung des Stabilitätsproblems in der üblichen Fassung, sowie zahl- 

 reiche Einzelbetrachtungen, — alles für die Flüssigkeitsellipsoide. 



In zwei vor kurzem erschienenen Arbeiten [Mathematische Zeit- 

 schrift Bd. 1 (1918) und Bd. 7 (1920)] habe ich unter anderem die 

 Poincaréschen Sätze für beliebige Gleichgewichtsfiguren bewiesen. Die 

 Beweismethode stellt zum Teil eine Verallgemeinerung und Vereinfachung 

 der Liapounoffschen dar, sie führt aber darüber hinaus neue wesentliche 

 methodische Gedanken namentlich potentialtheoretischer Art ein. Die 

 nunmehr verfügbaren Hilfsmittel gestatten eine Anzahl klassischer Pro- 

 bleme einer exakten Lösung zuzuführen. Als das wichtigste Resultat 

 ist die strenge Begründung der Laplaceschen Theorie der Saturnringe 

 zu bezeichnen. Laplace hat als erster die möglichen Gleichgewichts- 

 figuren eines um einen Zentralkörper rotierenden, homogenen, flüssigen 

 Ringes untersucht und gefunden, dass sein Querschnitt in einer ersten 

 Näherung elliptisch ist. Später hat Frau S. Kowalewski die Annäherung 

 einen Schritt weiter getrieben. Die Existenz ringförmiger Gleichgewichts- 

 figuren ist durch diese Arbeiten ebensowenig wie durch spätere Arbeiten 

 von Poincaré wirklich bewiesen worden. Als ein weiteres Resultat sei 

 die Begründung der Laplaceschen Theorie der Figur des Erdmondes 

 genannt. Auch dürfte jetzt unter anderem die Behandlung nicht not- 

 wendig- homogener, insbesondere gasförmiger Ringe in verhältnismässig 

 einfacher Weise möglich sein. 



