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4. L.-G. Du PasQUIEE (Neuchâtel) — Sur les idéaux de nombres 

 hyper complexes. 



En cherchant à étendre à tous les systèmes de nombres complexes 

 les propriétés des nombres entiers, comme Gauss l'avait fait avec un 

 plein succès pour les nombres complexes ordinaires, les gféomètres dé- 

 couvrirent que certains systèmes ne se prêtent pas à cette généralisation. 

 Par exemple, la décomposition d'un nombre complexe entier en facteurs 

 premiers, décomposition toujours possible, n'est pas toujours univoque. 

 Il en résulte qu' un produit peut être divisible par un nombre entier 

 sans qu'aucun des facteurs ne le soit, et. quantité d'autres irrégularités. 

 La théorie des idéaux, comme on le sait, fait tomber ces anomalies par 

 un heureux changement de méthode. En faisant intervenir les idéaux 

 de nombres, c. à d. certains ensembles de nombres entiers, à propriétés 

 caractéristiques bien déterminées, au lieu d'opérer sur les nombres 

 considérés isolément, Dedelîind réussit à rétablir la simplicité arithno- 

 mique qui se manifeste dans l'arithmétique ordinaire. — Le domaine 

 où la théorie des idéaux est applicable avec succès embrasse tous les 

 corps de nombres algébriques dont on s'est occupé jusqu'ici : d'une^ part 

 les systèmes oii se maintient l'ancienne théorie des nombres, qui ne fait 

 pas intervenir le concept d'idéal, d'autre part une infinité de systèmes 

 où cette ancienne arithmétique n'est pas valable. Aussi croyait- on la 

 théorie des idéaux d'une eflScacité absolue, lorsqu'il s'agissait d'obtenir 

 une arithnomie régulière. Or, il existe des systèmes de nombres com- 

 plexes à multiplication associative, distributive et commutative, et con- 

 tenant les nombres réels comme sous-groupe, où même la théorie des 

 idéaux ne conduit pas à une arithmétique simple comparable à la clas- 

 sique. — Soit, dans l'un de ces systèmes, a un idéal non principal. 

 Il peut arriver que la série de ses puissances successives: 



a, a}j a^, , a^, ad infin. 



ne contienne aucun idéal principal. L'un des fondements de la théorie 

 de Dedekind est ainsi détruit. Le conférencier décrit le système le 

 plus simple possible de nombres complexes où cela se produit et ter- 

 mine sa communication en signalant quelques problèmes nouveaux qui 

 surgissent de ce fait dans le domaine des nombres complexes généraux. 



5. G. TiERCT (Genève). — une nouvelle propriété des courbes 

 orhiformes. 



1. On appelle orhiformes des courbes fermées convexes, de largeur 

 constante. Leur équation polaire tangentielle s'écrit : 



p (co) = a[\ -\-f (co)], avec f {œ -\- n) ^= — f (co). 



Considérons un point M de contact se mouvant sur une orbiforme, 

 de telle manière que l'angle polaire tangentiel augmente proportionnelle- 

 ment au temps : 



00 = ôt -\- cûo; 

 la projection P du point M sur un axe est animée d'un mouvement 

 oscillatoire, auquel nous donnerons le nom de mouvement harmonique 

 d'orbî'forme. 



