De plus -^—j sera identiquement nulle. 



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lorsque la fonction inconnue y prend pour a; = a;i, a;2 et ics, les valeurs 

 données d'avance yi, y^ et y^. 



..... 1 . ^ ^^ à' A 



tinue, a pour ic = s une discontinuité egale à a{x) -r— et -r— r- pre- 

 da; ox^ 



sentant au même endroit les discontinuités ß{cc) et y {oc). 



Dans ces conditions A{xis) sera de la forme: 



( h{x — sY -\- tm {x — s) -|- m pour s <.x 

 \ h (x — s)^ -f- 1^2 (x — s) -\- ni pour s > ic. 



Les différences h (s) ^ h{s) ... etc. sont déterminées par les con- 

 ditions précédentes, et jouent seules un rôle. L'équation (2) dérivée 

 3 fois fournit: 



i"-\-a(x) fix) + [ß (x) + 2â{x)] fix) -\- [y {x) + /?(^) + yix)] fix) = /(x). 

 L'identification de cette équation avec (1) détermine a (a;), ßix) et yix). 

 On peut remplacer F(ic) par l'expression 



Vix) -]-Ci ix — X'z) ix — 3:3) -{-Ciix — xs) ix — Xi)-^Csix — xi) ix — xs). 

 Les conditions limites déterminent les C, une fois Vix) remplacée par 

 cette nouvelle expression, dans (2). Cette dernière prend la forme 



Xt 



Le point essentiel est que la fonction f ne joue aucun rôle dans B ixs) 

 et W ix) ; de sorte que l'équation de Fredholm 



£«3 



y ix) ^= 1 Bixs) y {s) ds -j- Wix) résout le problème. 



9. C. Caillée (Genève). — Sur un théorème relatif à la série, 

 hypergéoniétrique et sur la série de Kummer. 



M. C. Cailler donne diverses généralisations de la formule obtenue 



par lui il y a quelques années. 



1 



I ^^"'(1 — ^/ ~V(a, ß, y, xz) Fia', ß\ y\yi\—z),dz = 

 

 — ^ ^^ a-y) Fia, ß, y-\-y\ x^y — xy) 



(7 + /— 1)! 

 laquelle a lieu sous réserve des conditions: 



a-\-a' = ß -] ß' = y -\-y'. 



