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déiinit, lorsque m (^, ^) est intégrable ■ au sens de Lebesgue sur la sur- 

 face sphérique S de rayon 1, une fonction harmonique à l'intérieur de 

 S et Ton sait que U (}\é.,'0) —>■ u {'&, 0) presque partout lorsque r —>■ 1, 

 en particulier aux points de continuité de u. 



Il ne semble pas que l'étude de la limite pour r — > 1 des dérivées 



dP + 'i U 

 Dn a U (r, d, 0) = -7-7, -i—- ait été faite. La méthode employée par 



M. de la Vallée Poussin dans le cas du cercle ne peut être utilisée sur 

 la sphère. On peut, il est vrai, étudier ces dérivées par une méthode 

 directe ; malheureusement les calculs deviennent immédiatement très longs 

 et la méthode ne semble applicable avec succès que pour les petites va- 

 leurs de p -\- q. Cette méthode a cependant l'avantage de conduire à 

 des résultats très généraux dans lesquels interviennent les dérivées 

 généralisées de u. 



Une méthode plus simple repose sur la remarque suivante : Si dans 

 un domaine ^ de S, to est une fonction analytique du point {'&, ^) 

 C7(r, •i9', 0) est prolongeable analytiquement â travers ^. De cette remarque 

 à conclure que dans le cas particulier où u est analytique on a, dans 

 ^> ^p, q U {t\ß'^ 0) — >- D^^ q U {ê. 0) lorsque r —>- 1, il n'y a qu'un pas. 



Si u possède au point {'&^ 0) une différentielle totale d'ordre n = 

 p -\- q, on décomposera à l'aide de la formule de Taylor u en deux 

 parties: u=Un-\- r^ telles que ti^ soit analytique et qu'au point {'d',0) 

 c/j, Un=dy u{v<.n). U se décomposera d'une manière corrélative en 

 deux parties: U = Un-\- Rn ■ On aura.au point (ê, 0) Dp, q U^ —>- 

 Dp^ q i^n = Dp^ g U. Or, on peut montrer, à l'aide des propriétés du fac- 



J^ 

 1 — 2 r eus co -\- r^ 

 r —V 1. On obtient ainsi le théorème. 



En tout point ('&, 0) où u possède une différentielle totale d'ordre 

 n=p -\- q, on a D^^ ^ U (r, ^, 0) — >- D^^ q u {'&. 0) Ionique r — ^ 1. 



Laissant de côté un théorème analogue concernant la convergence 

 uniforme de Dpq U vers Dp^u nous remarquerons, pour terminer, 

 que si u r^ 2 Xn {'&,^) est le développement formel de u en série de 

 Laplace, on a U (r^û^^) ^ 2^ >^ X^ {'&,$). Par conséquent, le procédé 

 de sommation de Poisson est applicable au calcul des dérivées de tout 

 ordre de u, là où elles existent. 



La même méthode peut s'appliquer à l'étude des dérivées dans 

 d'autres procédés de sommation, tel celui dans lequel le facteur de 

 convergence r'^ de Poisson est remplacé par e"""'^ (^— >-o). 



12. Michel Plancheeel (Fribourg). — Une question d'Analyse. 



Lors de recherches sur l'inscription d'un carré dans une courbe 

 plane fermée et d'un octaèdre régulier dans une surface fermée, j'ai 

 été amené à résoudre dans un cas particulier le problème suivant : 



Soit y z=: f (x) une courbe continue et univoque dans l'intervalle 

 a<.x<.b, telle que dans cet intervalle f (x)> et que f (a) =^f 0>) 



teur de discontinuité :; — —^ j — - que D^^ q R^ —>- lorsque 



