1. Sektion für Mathematik 



Sitzung der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft 

 Samstag, den 27. August 1921 

 Präsident: Prof. De. L. Ceeliek (Bern) 

 Sekretär: Peof. De. A. Speisee (Zürich) 



1. S. Bats (Fribourg). — Sur la généralisation du problème des 

 triples de Steiner. 



Appelons n — uple une combinaison n ä n, et problème des 

 n — uples, le problème suivant, généralisant le problème des 

 tripl es de Steiner: 



Pour quel nombre N d'éléments, peut-on trouver un 

 système de n — uples, contenant une fois e t une seule fois chaque 

 (n — 1) — uple de ces éléments?^ 



Je peux établir, pour ce problème général, les résultats suivants. 

 La condition nécessaire pour l'existence d'un système de n — uples, 

 est l'intégrité de tous les quotients : 



N {N—l){N—2) ...(N—n-{-2) (N—l)(N—2) ...{N—n-{-2) 

 ""■ w! ' {n — 1) ! ' 



N — n-\-2 



Ì ! 



2 



• I. Il y a, quelque soit «, indéfiniment des J\r remplis- 

 sant cette condition nécessaire. Il suffit de prendre 

 iV=m.M.'-|-« (m entier positif). 

 II. Pour un n donné, les iV remplissant cette condition 

 nécessaire, sont tous les nombres N tels que N — n 

 n'est pas congru à — 1, suivant un module premier 

 inférieur ou égal à n. Ainsi le problème des triples (de 

 Steiner) est possible pour tous les N tels que N — 3 n'est pas 

 = — 1 mod. 2 ou 3, ce qui donne les formes iV' == 6 a; -j- 1 et 

 6 ic -|- 3. Le problème des quadruples est possible pour N = 

 &x -\- 2 et 6 X -\- 4:. Le problème des quintuples est possible pour 

 tous les iV tels que N — 5 n'est pas = — 1 mod. 2, 3 ou 5; etc. 



m. D'un système de n — uples avec JVéléments, j'obtiens 

 un système de (w — 1) — uples avec iV — 1 éléments. 



' Kxemple: le triple 123 contient les 3 couples 12, 13, 23, et le système 

 de triples (de Steiner) 123, 145, 167, 246, 257, 347, 356 coniient une fois et 

 une seule fois chaque couple des 7 éléments 1, 2, . . . , 7. Voir Netto. Combi- 

 natorik. Chapitre 10 p. 202. 



