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Hf{T) dr darstellen, so findet man, dass, unabhängig von der Basis /T, 

 für alle Werte von t die Grleichung- erfüllt sein muss : 



1 =.^p{t) + I fir)p{t — r)dT (I). 







Die Gesellschaft möge zum Zwecke der Sozialversicherung, zur 

 gemeinsamen Tragung eines Risikos, z. B. zur Sicherstellung von Witwen- 

 renten gebildet worden sein, es handle sich etwa um eine Witwen- 

 versicherungskasse, die der Witwe eines verstorbenen Gesellschaftsmit- 

 gliedes in der Zeit 1 die Witwenrente 1, also im Zeitelement dt die 

 Witwenrente 1 X ^^ verabfolgt (vgl, Dr. 0. Schenker in Heft 11 der 

 Mitt. Schweiz. Versicherungsmathematiker, Bern 1916). Ist Hm{t) die ZaJil 

 aller Witwen, die aus der geschlossenen Gesellschaft i^pCr), 0<t<^, 

 hervorgegangen und zur Zeit t noch leben und rentenberechtigt sind, 

 stellt mithin (o{t) die Wahrscheinlichkeit für ein ursprüngliches Mitglied 

 dar, zur Zeit t als Gesellschaftsmitglied schon verstorben zu sein, aber 

 eine noch lebende, rentenberechtigte Witwe hinterlassen zu haben, so 

 lässt sich für die offene, stets sich erneuernde Gesellschaft die Zahl 

 Hü{t) der Witwen auf Grund der Gleichung bestimmen: 



t ' 

 Q{t) = a>it) -f 1 fix) 03{t~T) dr (II). 



In entsprechender Weise kann das Deckungskapital HZ{t) der 

 offenen, stets sich erneuernden Gesellschaft, wenn es für die geschlossene 

 Gesellschaft Hz{i) beträgt, vermittelst der Gleichung gefunden werden: 



Z{t) = z{t) + /"(t) z{t — T)dr (III). 



Der Uebergang zum Beharrungszustand ist von besonderem Interesse. 

 Bezeichnet man nämlich die konstante Nettoprämie eines Mitgliedes für 

 die Zeit 1 mit P, also für die Zeit dx mit Pdx, und den Wert des 

 Kapitals, das mit seinen Zinsen in der Zeit 1 zu 1 anwächst, mit v^ 

 so dass 



v^ coit) dt 

 P = '-^ (IV) 



p{t) dt 



I" 



ist, und bedenkt man, dass für die Zeit des Beharrungszustandes die 

 Funktionen /", Q und Z sich Konstanten nähern müssen : 



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