1. Sektion für Mathematik 



Sitzung der Schweizerischen Mathematischen Gesellschaft 



Samstag, den 26. August 1922 



Präsident: Peof. Dr. G. Dumas (Lausanne) 

 Sekretär: Peof. De. A. Speisee (Zürich) 



1. Marcel Geossmann (Zürich). — Elliptische Geometrie im Änti- 

 polarsy.stem. 



Ordnet man jedem Punkt der Ebene seine Antipolare für einen 

 gegebenen Grundkreis zu, so entsteht ein Polarsystem mit imaginärer 

 Ordnungskurve. Betrachtet man diese als absoluten Kegelschnitt für 

 eine projektive Metrik, so erhält man ein projektiv richtiges Bild für 

 die elliptische (nicht-euklidische) Geometrie. So ist z. B. jedes Polar- 

 dreieck in diesem Polarsystem ein Dreieck mit drei rechten Winkeln 

 der elliptischen Geometrie. 



Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich für jede Konstruktions- 

 aufgabe der elliptischen Geometrie ein projektives Bild. 



Beispielsweise sei herausgegriffen die Konstruktion eines Kreises 

 mit gegebenem Mittelpunkt und gegebenem Peripheriepunkt. Man be- 

 stimmt die Antipolare des Mittelpunktes. Auf dieser Geraden bestimmt 

 das absolute Polarsystem eine elliptische Polinvolution. Der gesuchte 

 Kreis ist jener Kegelschnitt, dessen Mittelpunkt diese absolute Polare 

 hat, dessen Involution auf ihr als die absolute bekannt ist, und von 

 dem ein weiterer Punkt der Peripherie gegeben ist. Damit ist der 

 Kegelschnitt bekanntlich bestimmt und kann nach Punkten und Tan- 

 genten konstruiert werden. 



Das Berührungsbüschel der konzentrischen Kreise enthält auch 

 ein Exemplar, das „Kreis" der euklidischen Geometrie ist, nämlich 

 den Kreis um den gegebenen Mittelpunkt, der Diametralkreis zum Grund- 

 kreis ist, denn dieser bestimmt auf der absoluten Polaren des Mittel- 

 punktes die nämliche Involution. Alle übrigen Kreise der elliptischen 

 Geometrie können somit aus diesem durch zentrale Kollineation abge- 

 leitet werden. 



2. A. Speiser (Zürich). — Über Kongruenzgruppen. 



Nach dem Theorem von C. Jordan gibt es nur eine endliche An- 

 zahl einfacher Gruppen, die sich als Substitutionsgruppen von n-tem 

 Grade darstellen lassen, deren Koef&zienten reelle oder komplexe Zahlen 

 sind. Nimmt man aber Reste von Primzahlen oder Primidealen (Ga- 

 lois'sche Felder) für die Koeffizienten an, so ergibt sich eine unend- 



