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Dann erhalten wir unter anderem folgende Kurven : Jede Gerade 

 parallel zur kleinen Ellipsenachse umhüUlt während der betrachteten 

 Bewegung einen Kreis. Jede andere G-erade, die mit der kleinen 

 Achse den Winkel w einschliesst erzeugt eine A s t r o ï d e, deren Lage 

 und Dimensionen abhängig sind von w. Z. B. umhüllt jede Gerade durch 

 den Ellipsenmittelpunkt eine reguläre Astroïde; jede Gerade durch 

 einen Endpunkt der kleinen Achse ein halbes M alt a -Kreuz usw. 



Jeder Punkt auf der kleinen Ellipsenachse oder ihrer Ver- 

 längerung beschreibt die Eusspunktskurve derjenigen Astroïden- 

 evolvente, die von der Senkrechten in diesem Punkt auf die kleine 

 Achse eingehüllt wird. Das Ellipsenzentrum z. B. erzeugt ein regu- 

 läres Vierblatt. Die Endpunkte der kleinen Achse beschreiben 

 Munger sehe Doppeleilinien usw. Alle andern Punkte erzeugen 

 schiefe Konchoïden oder Orthokonchoïden der Rollbahn des 

 Ellipsenzentrums. Im besondern liefern die Mittelpunkte der grossen 

 Halbachsen je eine Cornei de. 



10. Paul Thalmann (Bern). — tjber eine neue Darstellung der 

 Funh^iow-n komplexer Veränderlichen. 



Die gewöhnliche konforme Abbildung hat die Nachteile, dass ein 

 reeller Punkt einer Kurve durch zwei verschiedene Punkte dargestellt 

 wird, nämlich durch einen Punkt auf der a::-Achse und einen solchen 

 auf der ^/-Achse. Ferner ist das Bildpaar nicht unabhängig von der 

 Wahl des Koordinatensystems. Laguerre hat dann ein Bildpaar einge- 

 führt, das diese Nachteile nicht mehr besitzt. Ich will nun zeigen, dass 

 in ganz natürlicher V\^eise ein anderes Bildpaar gewählt werden kann. 

 (Siehe Jahrbuch der philosoph. Fakultät der Universität Bern, Bd. Ili, 

 1923. Paul Thalmann: Über eine neue graphische Darstellung der 

 komplexen Zahlen. Dissertation.) 



Es sei : a;* = ic -|- ^'f 1 2/* == !/ H~ '^V 



Man konstruiert zuerst Ä{xy) ; dann verschiebt man das Koordinaten- 

 system nach A und konstruiert in diesem neuen System den Punkt 

 B{^,7]). Wir wählen A und B als Bildpaar. B hat in bezug auf das 

 ursprüngliche System die Koordinaten tt = x -]- ^^ v =y -\-7]. Wenn 

 wir die Transformation A -> B untersuchen, so erhalten wir das Resul- 

 tat, dass jede belegte Fläche in 5('/, v) doppelt so gross ist als die im 

 Punkte A{xy). Ferner folgt, dass wenn C die Koordinaten (f, ?;) hat, 

 die Transformation A —>- C flächentreu ist. 



Speziell lässt sich nun zeigen, wie natürlich diese Wahl das Pro- 

 blem der Bestimmung dei imaginären Schnittpunkte einer Geraden mit 

 einem Kegelschnitt lösen kann. Wir wählen z. B. als Kegelschnitt die 

 Ellipse b'^x*^ -\- a^y*^ = a^b^. Es ist: x -\- ^ = u^ y -\ rj = v. Wir 

 setzen die Werte für a;* und ?/* ein und erhalten die beiden Gleichungen: 



(1) h^u^A^a^v^ — 2bHix — 2a'^vy -{- aH' = 



(2) b'^iix -]- a'^vy = b^x'^ -f- a'^y^ 



Wir wählen (ic, tj) als fest und (?/,?') als variabel. (1) stellt eine 

 EUipse dar, die ähnlich ist mit der gegebenen b'^ u^ -\- a^ v^ = a'^ b^ . 



