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1 1 novembre i844> et q u ' a été publié en 1848, avec de nombreuses addi- 

 tions, dans le XXXII e cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Ainsi 

 l'égalité de la page 575, Note II, et l'égalité de la page 58g, Note IV, par 

 lesquelles on connaît la courbure géodésique d'une courbe quelconque 

 tracée sur une surface et la courbure de cette surface, ne diffèrent que par 

 les notations des égalités (9) et (i4) du § III de mon Mémoire. Depuis, 

 M. Liouville ayant eu l'occasion de revenir sur le même sujet, dans ses 

 leçons au Collège de France, a donné quelques formules nouvelles ana- 

 logues aux miennes, mais plus générales (*). Enfin, M. Chelini a montré, 

 (28 mai i85i) dans les Annales de Physique et de Mathématiques publiées 

 à Rome, que les nouveaux résultats de M. Liouville pouvaient être facile- 

 ment déduits des miens; toutefois, la marche suivie par M. Chelini n'est 

 pas, je crois, la plus simple. On va voir, en effet, qu'une fois les formules 

 établies dans l'hypothèse des lignes coordonnées rectangulaires, ce qui est 

 le cas que j'ai constamment considéré et ce qui me paraît être le cas fonda- 

 mental , on passe immédiatement, comme je l'avais remarqué depuis long- 

 temps, au cas des coordonnées quelconques examiné par M. Liouville. 



» Les lignes coordonnées (x) et ( y) étant supposées rectangulaires, j'ai 

 obtenu, à la page 43 du XXXII e cahier du Journal de l'École Polytechni- 

 que, la formule suivante : 



, ^ di /cos6\ /cosS\ . /cos8\ 



ds \ p )s~ \ p ) x \ P ) 



sin 1. 



y 



(Je renvoie au Mémoire pour la définition des éléments qui entrent dans 

 cette formule. ) Supposons maintenant que l'on substitue aux lignes coor- 

 données (y) d'autres lignes ( y'), faisant avec les lignes ( x) un angle variable 

 w ; la formule précédente, appliquée aux lignes (y'), donnera 



, , da /cos9\ /cos9\ /cos0\ 



(a) P-.tr l=-\— l cosu -(— ) 



Eliminant ( 1 entre (1) et (2), il vient 



.„. di /cosô\ /cos8\ sin(a — i) ^cos6^ sin i 



\ I ds \ ? )s~ \ ? Jx sinio 



Sin w. 

 r 



p ] y> sin w dy' sin w 



c'est la formule que M. Liouville a substituée à notre formule (1). 



(*) Voyez le Compte rendu du 14 avril i85i, et l'un des derniers numéros du Journal de 

 Mathématiques. 



