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 » Reprenons, en second lieu, la formule (i4) de la page 54 du Journal 

 de l'Ecole Polytechnique, et appliquons-la aux lignes coordonnées [x) 

 et ( y) supposées rectangulaires, nous aurons 



j d $ y « S ilx dx 3 y 



d ^-^ d Jy-=--RK' 



ou bien, en nous rappelant la formule (7 bis) de la page 37 {Journal de 

 l'École Polytechnique], 



(4) d :(~)^ 



cos 8 \ 1 dx S y 



p ) x RR' 



Intégrons les deux membres de cette égalité, en prenant pour limite un 

 contour fermé quelconque, courbe ou polygonal, tracé sur la surface ; nous 

 obtiendrons facilement, en nous aidant de la formule (1), le résultat sui- 

 vant qui est assez remarquable : « L'intégral; du quotient de l'élément 

 d'une surface par le carré de la courbure, étendue h un contour quelconque , 

 est égale à l'excès de la somme des angles du contour sur autant de fois 

 deux droites qu'il y a de côtés, moins deux, augmenté de l'intégrale 



/cos 

 - — ds, étendue à tout le contour. Ce théorème, qui, du reste, se trouve 



dans mon Mémoire de 1848, à la page i3i, donne immédiatement une 

 seconde formule de M. Liouville. En effet, supposons que les différents 

 points de la surface soient rapportés à deux systèmes de courbes coordon- 

 nées quelconques, dont les arcs soient toujours x et y, mais dont u et v 

 représentent les paramètres ; si l'on prend pour contour le parallélogramme 

 infiniment petit, déterminé par les deux courbes (u) et (u 4- du) du pre- 

 mier système et les deux courbes (v) et (c + dv) du second système, w 

 étant l'angle variable que font les courbes (u) et (t>), nous aurons 



/cosG\ 



Ï.F] dx d.(^i) dy 



(5) d ' a dudi- ^ ? '* dv ^ ? ' r du- * xu * dxdy 



[D > dud» aV dv a du aU ~ RR' 



On reconnaît sans peine la formule cpie M. Liouville a donnée pour déter- 

 miner la courbure d'une surface. 



» Pour rendre les formules (3) et (5) plus propres aux applications, on 

 peut se proposer d'y introduire les fonctions E, F, G de u et t>, au moyen 

 desquelles s'exprime l'élément de la surface; les résultats de notre ancien 

 travail permettent de faire immédiatement cette substitution, car on trouve 



