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trouver de combien de manières un nombre peut se décomposer en deux 

 carrés . 



» Parmi les propriétés auxquelles j'ai été conduit par la manière dont 

 j'avais d'abord envisagé la question, je signalerai des relations fort remar- 

 quables entre les nombres premiers de la forme l\n -t- i ou leurs composés 

 et certains angles que je nomme leurs arguments , parce qu'en effet ils sont 

 les arguments de leurs facteurs complexes. Je montre que les arguments 

 des nombres premiers sont incommensurables entre eux et même qu'ils ne 

 peuvent être liés par aucune relation linéaire et rationnelle. Il en résulte, 

 comme corollaire immédiat, non-seulement que la circonférence est incom- 

 mensurable avec les arcs dont la tangente est rationnelle (les multiples de 

 /[5 degrés exceptés), mais encore qu'aucun multiple de la circonférence ne 

 peut être obtenu en combinant, par voie d'addition ou de soustraction, de 

 pareils arcs lorsqu'ils sont des arguments de nombres premiers. On sait 

 combien il est rare de pouvoir démontrer de semblables propriétés avec 

 simplicité et rigueur : ici, par une heureuse exception, les raisonnements 

 sont d'une grande facilité et n'exigent que la connaissance de choses fort 

 élémentaires. » 



géométrie analytique. — Généralisation dequelques théorèmes relatifs aux 

 lignes trigonométrie/nés et au x polygones réguliers; par M. E. Prouhet. 

 (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Sturm, Lamé, Binet.) 



« Les théorèmes dont il est ici question sont dus à M. Terquem, qui les 

 a démontrés dans le Journal de M. Liouville. Je suis parvenu à leur donner 

 une grande extension , en modifiant un peu l'analyse employée par ce 

 savant géomètre et en m'aidant d'un caractère donné par M. Eisenstein 

 pour reconnaître l'irréductibilité de certaines équations. 



» Voici les principaux théorèmes démontrés dans ce Mémoire. 



» — étant une fraction irréductible, et n n'étant aucun des nombres 



2, 3, 4 ou 6, aucune puissance de tang — - ou de sin — n'est rationnelle. 



» Lorsqu'un polygone régulier circonscrit n'est ni un triangle, ni un 

 carré, ni un hexagone, aucune puissance de son périmètre ou de sa surface 

 ne peut s'exprimer par un nombre rationnel, le rayon du cercle étant pris 

 pour l'unité. 



