4 E. G. BJÖRLING, 



icke blott af de förenämnda, af Hr Oettinger behandlade, summorna, utan af de i rubri- 

 ken här ofvan angifna vida allmännare, och således äfven af de i praktiken användbara 

 speciela 



'Sol+i)* ! i(-i)'(i+zr, 



för reela ^-valörer hvilka som helst, 

 äfvensom, för helt-tals-valörer af fi, af summorna 



i-o i-o 



för alla möjliga valörer af «. 



I § 1 skola förberedelsevis tvenne för det efterföljande vigtiga rekursionsformler för 

 de BERNOULLfska talen angifvas, visserligen icke alldeles nya, men för den form, hvar- 

 under de här skola framställas, ganska anmärkningsvärda; h varvid tillika skall ådagaläg- 

 gas, huru de helt enkelt och elementärt kunna härledas ur en gemensam välbekant källa. 

 De båda följande paragraferna skola egnas åt hvar sin af de i öfverskriften nämnda summorna. 



§ 1. Tvcime anmärkningsvärda rekursionsfornilcr för de Bcnioulli'ska talen. 



Om de BERNOULLi'ska talen \, ^y, Ä, etc. utmärkas med B,, _B 2 , -Ss, etc; så gälla, 

 för hvarje helt tal fi, vare sig af formen 2r eller af formen 2r+l (inclusive 1), de båda 

 formlerna 



(A) ^-Jf(-irx-^=0, 



(B) ^-|(-iy-'2-> 8 ,_,f =0 eller = (-1)^(2'--!)^, 



allteftersom n är = 2 r eller = 2 r + 1 ; 

 (/^ 2 ,_, betecknar, som vanligt, binomial-coeff.). 



För udda /u-valörer äro dessa formlers giltighet i sjelfva verket redan ådagalagd 

 genom formlerna (18) och (20) i Hr Malmstens ofvannämnda afhandling, äfvensom (på 

 ett mera elementärt sätt) af Hr Schlömilch i § 10, sid. 46 och 47, af hans Theorie der 

 Differenzen und Summen (Halle, 1848). 



För jemna /u-valörer kan deras giltighet deduceras omedelbart ur sjelfva cotangent- 

 formeln 



u u B. . /?, , B 3 , 



T cot ä = l - n u ~-TTJl u '-T7~« u '— etc - ' 

 nemligen den förras genom att på ömse sidor multiplicera med sm u, den sednares genom 



samma operation med sin —, och genom att derefter ordna begge membra efter de stigande 



digniteterna af u samt jemföra begges coefficienter för samma it-dignitet. Så har ock verk- 

 ligen Hr Schlömilch, i sin Handb. d. mathemat. Analysis (Jena, 1845), sid. 283, deducerat 

 en formel, som genom dividering med 2n+l reduceras till den förra af våra ofvanstående 

 formler (för jemna (M-valörer). Och hvad den sednare beträffar, så fås — på sätt nyss 

 nämndes — först 



