OM VISSA SERIERS SUMMERING. I 



således gäller, enligt formeln (62) i Hr Malmstens ofvannämnda afliandling. för hvarje 

 negativt fi (åtminstone med undantag af fi = — 1) formeln: 



«=B-I (r-t-nh^-Tt 1 -*- 1 h i=m-l „ 



(I) hS(w+ihY= ' + ' , -j[(éHthy-J]+l»{-iy~ l Pu-i jh' , [(*±nhY"-"-^f* , ~*\ +R, 



i = o " t=l 



neinligen 



R= (-iy>-< .^^^/^'[(x + nhy"-*"'-^'-'"-]* , (0 begränsadt af o och {), 



(ro helt tal hvilket som helst). 

 För fi — —l gäller samma formel, blott man i lista termen af sed n are membrum 

 substituerar 1(1 + — J, eftersom för den speciela funktionen 



u'j.= S(x + ih) ' eller, snarare, funktionen «,= tSl(x + iK) 



1 = i = 



man har 



<'= (-ir ' r(r) '. = f{^J; Ju, = K»+nh) - lx, 



^ u t = — r— i 



j<>= ( - iy r(,).[(^-(^-)'], 



och således äfven här vilkoren för giltigheten af förenämnde formel (62) äro uppfyllda. 

 Och som i detta fall f* ti -t reducerar sig till— 1, öfvergår formeln (I) nu till den speciela 



ro ä«ot - <o4)4rt -^=1 - i?(-ir'f 4"[(|)"-C^]^.. 



nemligen 



Ä, = (-1)'-' ©• • £*-; [(i) 2 '- (^=T] . (®i begränsadt af o och i)- 



Afven för positivt {i gäller formeln (I), åtminstone om 2m ta ges >,«. — Ty när fi 

 icke är helt tal, äro de båda (2m + l):sta och (2m + 3):dje derivatorna af a,, nemligen 



fi(/u-l) (p- 2 ro - 1) '& (#4 ih) 1 *- im 



1 = 



och i=„-\ 



f*(p-l) (fi-2m-l) . (/u-2m) (/u-2m + l) « (« + z'A)"- (2, " +2) 



2 = 



qvantiteter af samma tecken, då 2 ro är >/*. — Och när /u är helt tal, och 2m>fi, är 



R = o, 



och formelns riktighet kan inses af dess öfverensstämmelse med den allmängiltiga formeln 



(43) i Hr Malmstens afhandling. 



För /u = o kan den omedelbart verificeras; dock kan detta- fall gerna lemnas ur sigte. — 



Och som, vid indefinit mot —1 konvergerande fi, i sjelfva verket 



.. (x + nhf + ' — x^ +i ,,, nh\ 

 hm : är = t ( H ; 



fl+ 1 v X /' 



inses af det nu anförda sanningen af följande allmänna 



*) Så att, huru många termer man än må medtaga, fyllnaden (supplementar-termen) städse är numeriskt < än 

 den l:sta af de termer, som skulle följa efter, i fall man toge med flere. 



