8 E. G. BJÖRLING, 



Theorem 1. 



Ehvad positiv eller negativ qvantitet än ju må vara, gäller, för positiva x- och h-valörer, 

 formeln (I), åtminstone om 2 m tages>f-i, dä ,u är positiv. 



Coroll. 

 Specielt för /i = helt tal, vare sig, 2r eller 2r+l (inclus. 1), reducerar sig — såsom 

 lätt inses — formeln (I) till 



(-2) . . . h = å~(m+ihy= ^^—-^[(d+nhy-x?] + i(-l)-X_,f WKx+nh)»»-*-^-*], 



alldenstund den eller de termer, som enligt (I) skulle följa, reducera sig till 0. Sätter 

 man här a i stället för j och observerar, att i detta fall expressionerna å ömse sidor äro 

 obrutna algebraiska funktioner af «; så finnes (på grund af t. ex. det i Cauchys Anal. 

 Algebr., kap. IV § 1, anförda theor. 4), att formeln 



(i) «(«+ ? r= — —; ( — g ä(-i)' x-. T i; ^ J) 



är en identitet (i af seende pä cc) för fi helt tal, vare sig, 2r eller 2r + l (inclus. 1). 



Anmärkning. 



En mycket generel rekursionsformel för de BERNOULLi'ska talen erhålles direkt ur 

 denna sista formel (I")- Genom att der insätta ti + 1 i stället för n och subtrahera, fås 

 nemligen 



1 "T ! = l 



eller, som är detsamma, identiteten 



(C) !?.' ^!>±£^.{<=±^^ 



gällande för hvarje helt tal fi, vare sig, 2r eller 2r + l (inclus. 1). 

 Sätter man 



w ^-^-^.[i-fc-ir^l], 



så antager (C) den enkla formen 



(C) y(a+l) = ^0) + < 



hvarefter alltså, då y(a) är känd för en viss a-valör, samma funktion för a+1 kan be- 

 räknas, och vice versa. 



