OM VISSA SERIERS SUMMERING. 11 



För negativt ju, > eller < 1 numeriskt är, enligt formeln (II) : 

 (7) S(i + .>=-"ÄU+ es±g^ - iCn+l^l-^iy'^.-^-*] ^ 



neraligen ? = (-1)"- 0.#„,_ 1 £(n + l)* +, -«- (ö begränsadt af o och 0, 

 och M^—Sil + i)" i förra fallet, 



men = ( „= 0O) j S(l-+-tf +T~\ * ^ et se ^ nare ) 



och beräknelig (approxim.), på sätt ofvan är nämndt, 

 medelst sjelfva formeln (7). 



För /»=='— 1 fås af formeln (II): 



(r) *Ti7= 2l -. + ^ +i )-K^ + *;(- i )'- , f(^T)">^. 



nemligen ?, = (-l)'"ö, ~(^j-f) ", (A begräns. af o och §), 



Ci-n-\ , 

 S j— t — Z(w + 1)], beräknelig (som ofvan) medelst 



sjelfva formeln (7'). *) 



Och för livat je positivt fi, icke helt tal, och närmast <2r eller 2r + l {indus. 1) gäller 

 formeln (7), allenast m—1 tages >r, varande här 



**■/* ■ 



B - 1 |3(i«y-^ + i(» + i)'[i-lVi)'-. s ^ =: ?]|, 



beräknelig som ofvan. 



.För helt-tals-valörer af fi återfås af formeln (II") den speciela formeln (5) i anmärk- 



ningen här ofvan. 



*) Nemligen den välbekanta constanten 



0,57721 56649 01532 860 



Det behöfver knapt erinras, att man af denna formel (7') får i alla händelser tillfyllestgörande gränspar 



för tennsumman af den harmoniska serien 



i i i i i p +„ 



1 > 5> 3' T> 5' eIC - 



omedelbart och således mera direkt än på den väg, som af Hr Catalan blifvit angifven i Compte rendu för 

 d. 22 sistl. Sept. Så finnes t. ex. genom positionen n + 1 = 1000 (och tilläggning af 0,001 på ömse sidor) 

 summan 



!=1000 



Ä 4- > 7,48547 08605 50336 

 t=i l 

 men < 7,48547 08607 50345 



n 



redan genom antagningen m = 2. [Supplementar-termen Q t är då positiv och < (0,1)' 2 -r- eller 



0,00000 00000 00008 3333 ]. 



Valören af constanten 51^ för negativa ^-valörer af helt-tals nummer-valör till och med 40 finnes, af Hr 

 Oettinger beräknad, på sid. 7 i Grunert's Archiv, Th. 26, äfvensom — till och med 35 — citerad, efter 

 Legendre, i Schlömilch's Theorie d. Diff. and Svmmm (Halle, 1848), sid. 143. 



