OM VISSA SERIERS SUMMERING. 13 



: = rc-l 



§ 3. Om mi minan S (-1)' (x + nli)'' för reela ^-valörer. 



i— o 



\. Emedan 



J§ (-I) 1 ' (x+ihy är = S(x + ihy- 2S{x+2i-lhY, omti-1 är jemnt tal, 



i-o l-\ 



i-n- 1 



v-!! 



och = S(a)+ihY-2S(ai+2i— iKf, om n-l är udda, 



eller, med ett ord, 



! = 1 



= S(.v + ihY- 2f§(x+2i-lh) f \ n må nu vara = 2p eller 

 ,=l = 2^ + 1 (inclus. 1); 



så erhålles, på grund af formlerna (I) och (III), följande 



Theorem 3. 



Ehvad positiv eller negativ qvantitet än fi må vara, gäller, åtminstone för positiva x- 

 och h-valörer, och med vilkor att i förra fallet 2m tages > ju,, formeln: 



(iv) hW(-iy(x + ihy= '«+"^'-*" + ' -A [(a . +nA y.-a»] 



i-o /t -t- i i 



(a; + 2p+ \hf +i — (x + hf +t 



+ h[(x + 2p + lhY-(x + hY] 



/i+l 



+ ^s(-iy~'M li _ 1 jh ,j [(x+nhy +i -- 2i -x^ +, ' ii -2 i %(x+2p+ihy + ^'-(x+hy +i -' i ]j+ii, 



nemligen 



(8) B = £i./u, m _ l ^h M '{(x + nhy +l --"'-x Ji+l -" , "+ 2 tm [(x + 2p+lhy +l -* m - (x + hy +l -*">]}, 



(il begränsadt af ± ^). 

 Man får nemligen omedelbart af formlerna (I) och (III): 



E=(-iy~'/u Sm _ t ^h m {&.[(x+nhy + '-' m -x^ +, - im ]-o t .r m [(x+2p + ihy +i - 2m -(x+hy + '~^ 



(neml. © och 0, begränsade af o och i); 

 men i dess ställe kan expressionen (8) substitueras, alldenstund multiplicatorerna till © 

 och (— ©,) äro qvantiteter af samma tecken. 



Coroll. 1. 

 Specielt för ,« = — 1 fås häraf eller af formlerna (I) och (III'): 



(IV) Ag(L iy ' =f( i + ^) + *rl- ' ]- f( i + ^L_ A r ' - ' ] 



v ' _ K ' x + ih v xl 2 La: x + nlu v x + h Ix + Ii x + (ip + ])hJ 



nemligen 



m [Va;/ \x + nhJ [_\x + hJ \x + 2p+lh) JJ 



(i2, begränsadt af ± i). 



