OM VISSA SERIERS SUMMERING. 15 



hvilka likväl icke för beräkningen af denna summa äro af någon särskild betydenhet, 

 alldenstund denna beräkning kan verkställas efter förestående formler (V), med iakt- 

 tagande af identiteten 



(11) *X-1)' (* + ify = £(-!)' (* + ify- (« + 2pÄ)"- 



i~o i-o 



Anmärkning 1. 

 I det afseendet förtjenar likväl den genom positionen n = 2p i formeln (IV") upp- 

 kommande nya formeln för summan i (V") särskild uppmärksamhet, att man genom jem- 

 förande af de sålunda på tvenne vägar erhållna uttrycken för denna summa (för helt-tals- 

 valörer af fi) får en ny formel för de BERNOULLiska talen, åtminstone lika allmän som 

 formeln (C) här ofvan. — Man finner sålunda, och under iakttagande af denna sistnämnde, 

 att formeln 



{Aa = 1) 



gäller (i afseende på « identiskt) för alla helt-tals-valörer af p, och således — alldenstund 

 bägge membra äro obrutna algebr. funktioner af p — att formeln 



b, ■!(« + /?+ l)" +, - 2 '+(« + /?)" +l - 2 ') 



-(a + l)" +1 - 2, -«" + ' 



A [(« + /?)"-«"] = «(-l) i -'(2 2i -l) / w 2 ._ 1 - 



i= 



{Aa = 1) 

 eller, snarare, formeln 



A[{« + (if-^] = AS(-l)-'(2»-l)fi ii _ l j[(a+iy- + <-*+a* +, ->-'], 



(Aa=fi hvilkensomhelst), 

 eller kortare, om man sätter 



(12) V(«) = «*- i(-l)"" , (2 2 '-l) / a,_, ^«" + '- 2 ', 



ft. 



fl, 



i={ 



= «"[l-l'(-l)'- , (2 2 '-l)^f], 

 i=i ff 



att formeln 



(13) J p(«+1) + -M " ) ^ = J(o"), (z7« = /? hvilkensomhelst), 



är en identitet (i afseende på a) för hvarje helt tal fi, vare sig, 2r eller 2r + l (inclus. 1). 



Och således är differensen 



-a" 



2 



constant i afseende på «, och följaktligen 



*Cfc.» 4-»W _. g ^ V^jHf) =i [i-S^iy-^^i)^,*|, 



i = l 



d. ä. [enligt formlerna (A) och (B)] formeln 



(D') »<■ + «> + » M - «"= eller = (~l)'(2* +t -l) ~^, 



allteftersom /« är = 2r eller = 2»' + l (inclus. 1), 



