18 CHARLIER, UNTERSUCHUNG UBER JUPITERSTORUNGEN DES PLANETEN THETIS. 



Es hat nun keine Schwierigkeit zu zeigen, dass die Wui'zeln der Gleichung (25) 

 wirklich alle reell sind, wenigstens unter der Voraussetzung, dass die Excentricitäten der 

 Planetbahnen und ihre gegenseitige Neigung als kleine Grössen zu betrachten sind. Erstens 

 zeigt das Zeichen des letzten Gliedes in (25), dass es immer eine reelle nicht positive 

 Wurzel giebt; um die Grösse derselben wie die der iibrigen Wurzeln zu bestimmen, stel- 

 len wir folgende Werthe zusammen {P bezeichnet die linke Seite in (25)) 



Fur x = — 2^2, ist P= — 2r^^r^ cos^{Af — N), raithin negativ 



,, x= O >> P= 2r^^r^ sin %M— N) » positiv 



I) X = Ä-Tg )) P — negativ 



» X = r^ — r^ y> P = positiv. 



Mithin ist es erwiesen, dass (25) drei reelle Wurzeln hat, von denen eine negativ und 

 ihrem numerischen Betrage nach kleiner als 2/5 ist; von den zwei fibrigen, die beide po- 

 sitiv sind, liegt die eine sehr nahe O, die andere unterscheidet sich wenig von r^. 



Es ist kaum nöthig zu erwähnen, dass jetzt 



[Hco?,u^a-\~a' sin T -\- «" cos T 



(2 6) H sin u ^ [i -\- />" sin T + /^" cos T 



\h = r-\-r' sin T + ;'" cos T 



9. Aus diesen Gleichungen bekommt man 



(27) Hdu^ + dT, 



und dann 



'a\' , „,/ « \' „. + H\dT 



1) • du = h4^^] • Hdu = 



z// •"'^ \Hé^ [L— L sin ^T — U cos 'TJI^ ' 



dT 

 du 



dT . . . 

 wo man das Zeichen plus nimmt, wenn -t- positiv ist, und minus, wenn dies nicht der 



Fall ist; in beiden Fallen bekommt man 



iPdT 



ffcos 1 /ai" , rfcos 1 



I . nu\\~.] du — I \ . nu\ p-_ 

 J Lsm J \zil J Lsm J [Z 



[L — L sin ^T—U cos 'T] 'A, ' 



— TT —TT 



WO wir noch statt cos ?m und sin ?2W die Ausdi-licke (26) einzusetzen haben. Jetzt ist also 



/' 



.(c)^_l_ / 



1 r cosnuH^dT 



t 



[L — L' sin 'T — L" cos 'TT'^ 



W J^ r^" sin nuH^dT 



271 J [Z — L sin ^T— U cos 'r]% 



Indem wir die Ausdrucke (26) fur sin u und cos u berucksichtigen, sehen wir 

 sogleich, dass, wenn n > 2, die obigen Integrale im Allgemeinen elliptische Integrals der 



