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KONGL. SV. VET. AKADKMIENS HANDLINGAU. IJANl) 22. N:0 2. 31 



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 I eiiic iVhnliche Formel tiir »S. . 



Bevor wir zur Bestiiamung von i, i', \, r/n uud hn als Funktionen von u', i-, ' I 



fibergehen, wevden ^vir die Iteihen tur sin ,ti,x' und cos ,ua; herleiten. In einem Aufsatz in 

 deu Verhandlungen der Akademie der VVissenschaften in Stockholm ^) hat der Verfasser 

 eine allgemeine Methode gegeben, nach der man verschiedene Entwickelungen dieser Funk- 

 tionen und anderer verwandten bekommen känn. In dem besprochenen Aufsatz (in dem 

 Folgenden mit M bezeichnet) ist eine dieser Reihen fur cos ^<a.' und sin ,w,c angegeben ; wir 

 bemerken aber dass, wenn wii- dieselbe unter der Form 



\ Cm cos mx -\- y 2h„ 



sehreil)en, so nimmt m alle ganzen Zahlwerthe an; es wäre natiirlich vortheilhaft, solche 

 Reihen zu haben, die nur die geraden öder nur die ungeraden Vielfachen des Winkels 

 enthielten; dass dies in der That möglich ist, zeigen die Gyldénschen Reihen fiir die be- 

 sprochenen Funktionen, da in diesen Reihen alle' Koefficienten mit geradem Index ver- 

 schwinden. 



Um zu diesen und ähnlichen Reihen zu kommen, werden ^vir zuerst eine Trans- 

 formation von {M. 4) vornehmen. Wir gehen nicht wie dort von einer Reihe (il/. 1) fiir die 

 zu untersuchende Funktion aus, die zwischen O und n Giiltigkeit hat, sondern wollen 



TT 71 ... .o 



— ^ und-)- als Grenzen des Giiltigkeitsbereiches der Reihen") wjVhlen. Die Ausdriicke tur 

 die Koefficienten in der Entwickelung sind leicht zu erhalten, und wir linden, dass jede 



71 71 



Funktion /(.c), die zwischen -\- ~ und — - , die Grenzen inklusive, eindeutig und endlich 



ist (und deren Maxima und Minima einander nicht unendlich nahe liegen), zwischen den 

 genannten Grenzen mittelst der Formeln 



(54) f{x) == \C„ -\- C'i sin X -\- C^ cos 2^ ~\- C^ sin ?)X -|- • • • 



(55) f{x) = Z)j cos X -\- D., sin 1x -\- D.^ cos 2>x-\- . . . 

 darstellbar ist, ^vo ^) 



') En metod att föröka konvert/ense/i hos en trigonometrisk serie. Ofversigt af Kougl. Vetenskaps-Akademiens 

 Förhandlingav 1^86. N:o 5; Ubersetzt in Bulletin Astronomique piiblié par M. F. Tisserand. August 1886. 



^) Dass diese Veriinderung in dem jetztigen Falle niitzlich ist, ist nicht schwer einzusehen. VVenn wir z. B. fiir 

 cos ;t(,f eine cosinus-Reihe anfsuchen, die zwischen O und tz giiltig ist, so muss dieselbe Reihe auch zwischen O 

 und — /ccosf.ij; darstellen, da cos ux eine gerade Funktion ist; suchen wir dagegen eine Eeihe fiir dieselbe 



Funktion zwischen den Grenzen + — und — , so wird dieselbe Reihe im AUgemeinen nicht cos ux 



ausser diesen Grenzen wiedergeben. 



^) Vergleiche Gyldén: Relationer mellan cosiner och siner för irrationela cinklar p. 5. 



