10 BJBBKNES, UBER E1NEN HYDRODYNAMISCHEN FUNDAMENTALSATZ. 



Merken wif uns erst, dass die Beschleunigungen k G immer in den Gradientebenen 

 (B, G) liegen. Hieraus folgt, dass die Winkelbeschleunigung ura eine Normale zu diesen 

 Ebenen stattfinden muss. Als Achsen der Winkelbeschleunigung gerader Flussigkeits- 

 linien treten also iranier nur die isobar-isosteren Linien auf. 



Die Grösse k verändert sich nicht längs einer isosteren Ebene; längs der Normale 

 einer solchen Ebene hat sie dagegen ihre schnellste Variation. Alle Fliissigkeitspunkte, 

 welehe im betrachteten Augenblick und innerhalb des fraglichen Volumenelementes einer 

 isosteren Ebene angehören, werden desshalb gleiche Beschleunigung erhalten, die Ebene 

 selbst und alle ihr gehörenden materiellen Linien werden nur translatorische und keine 

 Winkelbeschleunigung erhalten. Zu diesen Linien gehören unter anderen die horizontalen, 

 voll ausgezogenen Parallelogramtnseiten auf Fig. 1 und sämmtliche isobar-isostere Linien, 

 welehe sich auf der Fig. 1 als Punkte projiciren, und welehe, wie schon bemerkt, als 

 Achsen jeder Winkelbeschleunigung der Fliissigkeitslinien auftreten. 



Die Fltissigkeitslinie OX und die Flilssigkeitslinie OZ, welehe sich im Punkte O 

 projicirt, erhalten also die einfache translatorische Beschleunigung k f) G. Die Punkte der 

 Linie OY dagegen, welehe auf den beiden vorigen senkrecht steht und also die Richtung 

 des Beweglichkeitsvektors hat, erhalten dagegen zunehmende Beschleunigungen mit den 

 zunehmenden Werten von k, so dass das leichtere Ende dieser Linie dem schwereren 

 Ende voraneilen muss. Ausser einer translatorischen Beschleunigung erhält also diese 

 Linie zugleich eine Winkelbeschleunigung, deren Richtung durch die Fig. 2 illustrirt wird. 

 Sie ist von dem Beweglichkeitsvektor B auf dem kurzesten Wege nach dem Gradienten G 

 hin gerichtet. 



Den absoluten Betrag dieser Winkelbeschleunigung finclet man endlich in folgender 

 Weise: Aus den Werten k 1 G und k G der Beschleunigung in den Endpunkten eines E!e- 

 mentes dn biidet man die Komponenten normal zur Linie 



k x G sin © k G sin & 



Diese werden von einander subtrahirt und die Differenz durch den Abstancl Ån der 

 Punkte dividirt. Merken wir uns so, dass der Wert der Differenzen 



tv^ /Cq — -t-J tC 



ist, und erinnern Avir uns der Definition (6,6) des Beweglichkeitsvektors B, so erhalten wir 

 als Werth der gesuchten Winkelbeschleunigung 



(b) BG sin ®. 



Man känn auch ohne Schwierigkeit die Winkelbeschleunigung einer geraden Fltissig- 

 keitslinie beliebiger Richtung innerhalb des Volumenelementes fmden. Da wir aber jetzt die 

 Winkelbeschleunigung dreier auf einander senkrechten Linien kennen, können wir nach 

 bekannten kineraatisclien Sätzen allés, was sich auf die Rotationsbewegung des Elementes 

 bezieht, ableiten. Wir merken uns also das einfache Resultat: 



Die Winkelbescldeunigungen, welehe der Gradient Linienelementen der Fliissigkeit mit- 

 teilt, frnden um isobar-isosteren Linien als Achsen statt. 



