b SOCIETE HELVETIQUE 



Etant donné un polygone plan A^A^.^An^nse propose de 

 construire — avec la règle et Vèquerre seulement — les points 

 M\,M\....M' n , qui correspondent aux milieux M i ,M i ....M n 

 des côtés, de telle manière que les droites joignant respecti- 

 vement ces points, c'est-à-dire M^M',, M^M\.... M n M' n> pas- 

 sent par le centre de gravité G du polygone et s'y coupent 

 dans le rapport constant 1 : 2. 



Si par chacun des points ainsi déterminés, M',, M',.... 

 M' ft# on mène une parallèle au côté du polygone dont le 

 milieu correspond à ce point, on forme un second poly- 

 gone A\A! t ....A! n semblable au premier dans le rapport 

 2 : 1 et avec Je centre de gravité G pour point de simili- 

 tude intérieur. 



I. Dans ce qui suit il ne sera en général, pour abréger, 

 question que de l'un des points M'. Le point de départ 

 de cette étude est la propriété connue que, dans le cas 

 du triangle, M'., coïncide avec A 3 , M', avec A, et M' 3 avec 



A 2 . 



(PI. IV, fig. 1). Soient A A , A t , A 3 , A k quatre sommets 

 successifs du polygone à n sommets, de plus soient B' et G les 

 points correspondant de la façon indiquée aux milieux B et 

 C des diagonales A^A 3 et A t A à relativement au centre de 

 gravité du polygone à n — 1 sommets déterminé par la- 

 diagonale respective. On voit que M t , qui est le point corres- 

 pondant au milieu M 2 du côté A„A 3 relativement au centre 

 de gravité G du polygone à n sommets, est le point d'in- 

 tersection de la parallèle à A 3 C menée par A k el de la po- 

 ralléle à A^B menée par A t . 



Dans le cas d'un quadrilatère A^AjA,, B' coïncide 

 avec A 4 et G' avec A, et par conséquent M', est le point 

 d'intersection des parallèles aux diagonales menées 

 respectivement par A 1 et par A À . 



