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à-1'heure constant, nos transcendantes deviendront des fonctions du mo- 

 dule, et Ton peut se demander s'il sera encore impossible de les exprimer 

 sous forme finie en termes algébriques, exponentiels et logarithmiques, 

 relatifs à la nouvelle variable. Or je suis parvenu à démontrer qu'en effet 

 cette impossibilité subsiste; mais l'analyse dont j'ai fait usage en résolvant 

 ce nouveau problème diffère beaucoup de celle dont je m'étais servi dans 

 le Mémoire de 1 833. Les fonctions elliptiques de première et de deuxième 

 espèce , considérées comme fonctions du module, satisfont en effet à deux 

 équations différentielles du second ordre, assez compliquées, tandis que, 

 par rapport à l'amplitude, ces mêmes fonctions elliptiques sont de sim- 

 ples intégrales indéfinies dont l'élément est connu. Les deux questions que 

 j'ai traitées diffèrent donc entre elles autant que l'intégration des fonctions 

 d'une seule variable diffère de l'intégration des équations différentielles. 

 On comprendra mieux encore l'intervalle qui les sépare si j'ajoute que les 

 transcendantes dont nous nous occupons ne deviendraient pas des fonc- 

 tions du module composées d'un nombre limité de termes, quand même 

 on joindrait aux signes algébriques, exponentiejs et logarithmiques, le si- 

 gne /indiquant une intégrale indéfinie relative à la variable indépendante, 

 c'est-à-dire une intégrale dont la limite supérieure est précisément le mo- 

 dule, et dont la limite inférieure est une constante déterminée ou arbi- 

 traire. Ainsi les fonctions elliptiques sont des transcendantes d'un ordre 

 plus élevé par rapport au module que par rapport à l'amplitude. 



» Ces recherches, et plusieurs autres que j'ai publiées antérieurement, 

 appartiennent à une grande théorie que les géomètres n'ont pas encore 

 étudiée, je crois, avec l'attention persévérante qu'elle mérite. Cette théo- 

 rie a pour objet de découvrir, dans chaque question , toutes les solutions 

 qui peuvent s'écrire à l'aide d'un nombre limité de signes analytiques don- 

 nés d'avance, ou à prouver qu'il n'existe pas de telles solutions. Seule elle 

 peut conduire à une classification vraiment philosophique des transcen- 

 dantes. On la rencontre dans les éléments mêmes, et dès les premiers pas 

 qu'on fait en algèbre. Après avoir donné les règles de la multiplication 

 des polynômes, veut-on passer à la division? de suite on est arrêté, puis- 

 que deux polynômes pris au hasard ne sont pas toujours divisibles l'un par 

 l'autre. Il faut donc, i° Trouver une méthode pour effectuer la division 

 toutes les fois qu'elle est possible, ou pour prouver qu'elle ne l'est pas; 

 2° Créer un signe nouveau pour indiquer les divisions qu'on ne peut pas 

 effectuer, et par suite ajouter aux fonctions entières, seules connues jus- 

 que là , les fonctions rationnelles. Mais quand on veut extraire les racines 



