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de n fournie par l'équation (4), il sera, dans tous les cas, donné par la 

 formule 



(6) N = „«—„'»-• „'*-> . . . (» — i) („'_ i) (v" — i). . . 



ou , ce qui revient au même , par la formule 



M n = „(,-!)(.- 4) (,~ 7 ;> 



Ce nombre sera donc toujours pair, à moins que l'on n'ait n = 2 , et par 

 suite N = 1 . 



» ri étant un entier distinct de n, et a le plus grand commun diviseur 

 de n, ri, on peut toujours trouver des nombres entiers u, v propres à 

 vérifier la formule 



nu — n'v = a>. 



Cela posé, toute racine commune aux deux équations 



af = 1 , x n ' = 1 , 



devra évidemment vérifier encore l'équation plus simple x au ~ "'' = 1, ou 



x" == 1,. 



Réciproquement , toute racine de la dernière équation devra encore véri- 

 fier les deux autres. Or, comme le diviseur commun o ne variera pas, 

 si, ri étant un nombre composé, on efface dans ri un facteur premier à n, 

 il est clair qu'après une telle suppression l'équation 



x"' = 1 



continuera toujours de subsister. Ce principe étant admis, soit m un 

 nombre premier à 72. Si l'on a 



pmh — pmk^ p ar conséquent p m (*— *) = 1, 



h, k étant premiers an, et inférieurs à n ; alors p , devant vérifier simul- 

 tanément l'équation (1) et la suivante 



x m(k—h) == j } 



sera, d'après ce qu'on vient de dire, une racine de l'équation 



Y* 7c— h »— ■■ j 



On aura donc 



p k ~ h =1 ou pi* = p*. 



