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 et le nombre des termes négatifs ou des entiers 



k, k', k", . . . 



devront y être séparément égaux a — ; ce qui suppose N pair. 

 » Si n se réduit au nombre 2 , l'équation 



x 2 = 1 



n'offrira qu'une seule racine primitive p = — 1, avec laquelle on ne pourra 

 composer une fonction alternée, ou une somme alternée, puisque N cessera 

 d'être pair, en se réduisant à l'unité. 



» Si n est un nombre premier impair, les sommes (12) se réduiront toutes 

 à la première, et par suite f(p) sera de la forme 



04) f(p) = ^, 



c'est-à-dire que la fonction alternée f (p) sera proportionnelle à la somme 

 alternée A des racines primitives de l'équation (1). 



» Observons maintenant que si l'on prend pour m l'un des nombres 



les termes p h et p"*, ou f.™ h et p m,fc , ou p m ' h et p"' 3 *, etc. . ., comparés deux 

 à deux, devront être généralement affectés de signes contraires dans le 

 second membre de l'équation (i3); et puisque p* y est affecté du signe 

 +, p mh devra s'y trouver affecté du signe — , p" 1 ' 4 du signe -}-, p mU du si- 

 gne — , etc. . . Donc la somme alternée A sera représentée en partie ou 

 en totalité par la somme algébrique 



ah _ pmh _J_ «m'h ptn'h _|_ _ - m i — <h 



que l'on réduira simplement à 



(l5) p — pi» + pm'- —. . V L _ f m-- I j 



en p-renant, comme on peut le faire, h=\. Dans la somme (i5), comme 

 dans l'équation (8), m', désigne la plus petite des puissances de m, qui 

 soit équivalente à l'unité suivant le module n. 



» Si « est un nombre premier impair, ou une puissance d'un tel nom- 

 bre, alors les entiers 



h, k, l,, .. 



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