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 inférieurs à « et premiers à n, vérifieront l'équivalence 



(16) * N ~ i, (mod. ii), 



les uns étant résidus quadratiques, et racines de l'équivalence 



N 

 X = I, 



les autres non-résidus quadratiques , et racines de l'équivalence 



N 

 X = — I. 



D'ailleurs, m étant l'un quelconque des nombres h, k, l, . . ., la substitu- 

 tion de ^™ à p changera non-seulement p en p K , mais aussi p m en p m ' : et par 

 suite, dans la somme alternée A, pn^ devra être précédé du même signe 

 que p. Donc si p y est précédé du signe -f-> on pourra en dire autant de 

 toutes les puissances de p qui offriront pour exposants des résidus quadra- 



, . , N 



tiques; et, comme le nombre de ces puissances sera précisément - , les 



autres puissances qui auront pour exposants des non-résidus quadrati- 

 ques, devront être toutes affectées du signe — . Donc alors les nombres 

 k, k', . . ., et par suite le nombre m, dans la somme (i5), ne pourront 

 être que des non-résidus. D'ailleurs, si l'on prend pour m un tel nombre, 

 on aura ; = N; par conséquent la somme (i5) renfermant autant de 

 termes que la somme A , représentera en totalité cette dernière somme ; 

 et la valeur de A, réduite à 



(17J A = p — p"' +jo"" — ... -f/3 m ' V ~\ 



sera effectivement une fonction alternée des racines primitives de l'équa- 

 tion , attendu qu'elle acquerra seulement deux valeurs égales, au signe 

 près , mais affectées de signes contraires , lorsqu'on y remplacera suc- 

 cessivement la racine primitive p par l'une des autres racines primitives 



N — 1 

 p , p , . . . p , 



» Si n se réduit à un nombre premier impair, on aura N = n — 1, 

 (18) A = p — p m -j- p m * — . . . + p m "~\ 



et d'après un théorème de M. Gauss, rappelé dans une précédente séance, 



(19) A> = (—iy~7i. 



