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Mais, si l'on a 



n = v ', 



v étant un nombre premier impair, et a un entier supérieur à l'unité; on 



trouvera 



N = v- 1 {v— 1), 



et, m étant un nombre quelconque premier à n , les divers termes de la 

 progression arithmétique 



m, m •+• v, m + iv, ... m+(v"~' — i)», 



seront tous à la fois résidus quadratiques ou non-résidus quadratiques. 

 Or, la somme des puissances de p, qui auront pour exposants ces mêmes 

 termes , se réduisant à 



m ' - P*" 



P m T=°' 



i— p 



et ces puissances étant les seules qui, dans la somme alternée A, offrent 

 des exposants équivalents à m suivant le module v, il en résulte qu'en 

 supposant n = v", on obtiendra une valeur nulle de A. Alors aussi on ob- 

 tiendra encore des valeurs nulles pour celles des sommes (12) qui ne se 

 réduiront pas à la somme (D des racines primitives de l'équation 



x' = 1. 



Donc, lorsque n représentera une puissance quelconque d'un nombre 

 premier impair, non-seulement on aura 



(20) Af= o , 



mais de plus f (p) sera de la forme 



(2,) f(p) = aCD. 



» Nous avons déjà observé qu'il n'existe point de somme alternée des 

 racines primitives de l'équation (1), dans le cas où l'on suppose «=2. 

 Mais il n'en sera plus de même quand on prendra pour n une puissance 

 de 2. Concevons qu'alors on réduise toujours l'un des nombres 



I t m f ( t. IL ■ V ■ 



à l'unité. Si, pour fixer les idées, on suppose n = /j> on trouvera 



fi =__}, k = 3, 

 et 



(22) A = p — f 



