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 cette méthode au développement du produit de plusieurs facteurs de 

 la forme i -+- xz, i+x'z, i~\-x 3 z,... 



on trouve 



I( 1 H- jcz) (i + x'z) (i + x% z) (i + x™z) = 

 , + Xl lz± + x s z . («-«■) c-^--) + etc . , , ; + /^ 5 „ 

 I X ' (l X) (1 — x) 



Lorsque la variable x, réelle ou imaginaire, offre un module inférieur à 

 l'unité, il suffit de faire croître m indéfiniment pour déduire de l'équation (i) 

 une formule donnée par Euler (Introduc. in Analysin infinitorum . 

 cap. XVI), savoir, 



(i +a»)(i +x'z) (i+x 3 z).. . = i + -^« + j_iL__ z « + 



Les théorèmes importants qu'Euler a déduits de cette dernière formule, 

 se trouvent évidemment renfermés, comme cas particuliers, dans les théo- 

 rèmes analogues qui se déduisent immédiatement de la formule (i). 



» Si dans l'équation (i) on remplace d'abord x par x', puis s par 



-, on en tirera 



X 



!(i+xz) (i+x 3 z) (i -f-,r 5 z).. . (i+.r am -'z) = 

 i — *"" . A m , (i—x' m )(i—x* m -*) , m , m 



» Si dans les formules (i) et (2) on remplace z par , on obtiendra 



des formules de même genre qui fourniront les développements des pro- 

 duits 



(3) (z— x) (z — x'). . . (z — xr), (z—x) (z — x 3 ). . . (z — x° m "), 



suivant les puissances descendantes de z. 



» Si , au lieu de développer les produits (3), on se proposait de décom- 

 poser en fractions simples des fractions rationnelles qui offriraient pour 

 dénominateurs ces mêmes produits, on y parviendrait aisément à l'aide 

 de la formule d'interpolation de Lagrange. Ainsi, par exemple, en dési- 

 gnant par f(z) une fonction entière de z, d'un degré inférieur à m, on 

 trouverait généralement 



(1 — X) (l— *')... (I— X"') ' _ îjx) I-X" 



(z — x) (z — x") ... (z — x m ) ^ ' x"—' z — x 



I „ H*) (,-«-)(,-«—») î(x 3 ) (!-*■)(.- J— ')(I-X— ) 



(4) \ x'<-™-0 (1 — x)(z— x 2 ) " r iH— ) (, _ x) (I— x°)(z — X 3 ) 



- f (x m ) I — X™ 



etc 3= x 



x m ( m- ') z 



