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» Dans les divers ternies du développement que renferme la formule (i ) , 

 les puissances entières de z se trouvent respectivement multipliées par 

 les facteurs 



c'est-à-dire par les puissances de x dont les exposants se réduisent aux 

 nombres triangulaires. Si l'on nomme S ro ce que devient le développe- 

 ment dont il s'agit quand on supprime ces facteurs, on aura 



i — X m , . (i X m ) (l — x m ~') , 



(5) S m =i+z h z —, -v} r- + - • < + z > 



*■ < m ' i — x (i — x) (i — a:') ■ ' 



et l'on en conclura non-seulement 



,„< * „ . , - « .1 — ■'« ;: " - ' . m , , fi — x m ~')(i — x m ~') , 



(6) S.- S*_.=*--a+*— z' -^—p + ^" 3 * 3 L ( ,_ ;r) (,_ I .. ) ; +-, 



mais encore 



( 7 ) S. - (i + z) S m _, + (i - *— ■) z S._, = o. 



» Si, dans la formule (6), on pose z = x"* , elle donnera 



m 



(8) S. = (i+aT a )S_„ 

 et l'on aura par suite 



ï m i w 



» Si , dans la formule (7), on pose z — — 1 , elle donnera 

 (10) S m =(i— ■r"-') s »-2 > 



et l'on aura par suite 



(,,)( 1 -x)(x-^...(i-^-)=i-^-+ (i (1 ij ) ( ;,_, a) ) — ■+.. 



Ainsi la considération du développement désigné par S m conduit immé- 

 diatement aux formules (9) et (11), que M. Gauss a données dans le Mé- 

 moire intitulé Summatio serierum quœrwndam singularium. 



» Dans la théorie des nombres, la considération des fonctions alternées 

 fournit, comme je l'ai fait voir précédemment, des théorèmes relatifs aux 

 formes quadratiques des nombres premiers et de leurs puissances. Elle 

 conduit aussi de la manière la plus directe au beau théorème de M. Gauss 

 sur la forme quadratique que peut acquérir le premier membre d'une 

 équation binôme, débarrassée de la racine 1 ; théorème qui peut être 



