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Toutefois, ces diverses formules ne sont pas applicables aux cas particu- 

 liers où n se réduirait à l'un des nombres 3, 4 1 8. Mais ces trois cas 

 peuvent être traités séparément et fournissent des résultats déjà connus 

 (voir les pages 60 et 61). 



» Si l'on suppose l'équation (4) réduite à 



A' = n, 

 on trouvera 



N N 



I =/, J=p\ 



et par suite 



A = 2// , B = o. 



Mais, si l'équation (4) se réduit à 



(8) A' = — n, 



B offrira une valeur différente de zéro. Alors aussi des équations (5), (6), 

 jointes aux formules (3) et (8), on tirera 



N 



(9) 4P' = A" + B 3 . 



Si d'ailleurs on nomme p*- la plus haute puissance de p qui divise simul- 

 tanément A et B, on aura 



(10) A = p x x, B s= p x y, 



x,jr désignant deux quantités entières, non divisibles par y»; et, en posant 



(il) ft = -— 2À, 



on verra la formule (9) se réduire à la suivante 

 (12) 4/^ = x* + ny*. 



La condition (8) se trouvera effectivement remplie et entraînera la for- 

 mule (12), si le nombre n est de l'une des formes 



t\x + 3, 4(4r + 1), 



ou bien encore de l'une des formes 



8(4x -f 1), 8(4* + 3), 



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