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Cette dernière équation suffit seule à la détermination de la valeur numé- 

 rique de x, toutes les fois que l'exposant // se réduit à l'un des nombres 



» Après avoir rappelé les formules fondamentales relatives aux formes 

 quadratiques de certaines puissances d'un nombre premier, ou plutôt du 

 quadruple de ces puissances, nous allons maintenant discuter ces mêmes 

 formules. 



» Nous avons déjà observé que l'on peut réduire l'équation (9), i° lors- 

 que n est un nombre impair de la forme 8x -f- 7, à la formule 



(i4) p? = x' + nf; 



2 lorsque n est un nombre pair, divisible par 4 ou par 8, à la formule 



(i5) p* = x> + J j\ 



Nous ajouterons que l'exposant /u, sera impair si n est un nombre premier, 

 et deviendra pair dans le cas contraire. Effectivement, si nous prenons 

 d'abord pour n un nombre impair, ce nombre sera , dans l'équation (9) ou 

 (14), de la forme 4 X -f" 3, et l'exposant /u., représenté parla valeur numé- 

 rique de la différence 



' — h 



ou par le tiers de cette valeur, sera pair ou impair, avec cette différence, 

 suivant que la somme 



'+7 = 7, 



sera elle-même paire ou impaire. Comme on aura d'ailleurs, si n est un 

 nombre premier impair, 



N = n — 1, 



et, si n est le produit de plusieurs nombres premiers impairs v, »', ... 



N = (,_,)(/_,)...; 



nous pouvons affirmer que /u. sera impair, avec — , si n est un nombre pre- 

 mier de la forme 4x -f- 3, et pair, avec —, si n est un nombre composé 



