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 et, £ les nombres i et i5, ou 3 et 5. Mais, comme on a (-? ) = — i , la se- 

 conde condition nous oblige à rejeter les nombres 3 et 5, en prenant 

 pour a, ê les nombres i et i5. Donc,/) étant un nombre premier de la 

 forme i5x-f- i , ou, ce qui revient au même, de la forme 3ox -J- i la 

 considération des facteurs primitifs de p fournira la solution en nombres 

 entiers de l'équation 



p = u* + j5i>". 



«Prenons maintenant pour n un nombre composé de la forme 4 x- f-3. 

 Alors on pourra vérifier en nombres entiers l'équation (9); et les deux 

 facteurs 



zp* — x, ip 2 -f- x , 



dont la somme sera /j/> 2 ■> et le produit fyjft — x* = ny°, resteront pre- 

 miers entre eux, si x*, y* sont des carrés impairs. Donc alors, pour sa- 

 tisfaire à l'équation (g), on devra supposer 



2/) a — x = au*, o.p^ -+- x = Su* , 

 et par suite 



( 22 ) kp l = ««' + Se*, 



a, €, u, v étant des nombres entiers qui vérifieront les formules 



a€ = x, uv ■==. y, 



avec les conditions (ig). Si, dans le cas que nous considérons, x°, y*, 

 étaient des carrés pairs, on pourrait, comme dans le cas précédent, réduire 

 l'équation (g) à l'équation (izf), et l'on arriverait à la formule (16) qui 

 peut être censée comprise dans la formule (22), de laquelle ou la déduit 

 en remplaçant u par iu et v par iv. On peut donc énoncer la proposition 

 suivante. 



» Lorsque n est un nombre composé de la forme 8x + 3 , l'équation (g) 

 entraîne la formule (22), clans laquelle a, £ doivent vérifier les condi- 

 tions (21). 



» Prenons maintenant pour n un nombre composé, divisible par 4, 

 mais non par 8. Alors on pourra satisfaire en nombres entiers à l'équa- 



