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 tion (i5), si -. est de la forme 4 X + i; et, par des raisonnements sembla- 

 bles à ceux dont nous venons de faire usage, on prouvera que l'équation 

 (i5j entraîne l'une des deux formules 



l 2 ^ p* s± au* -+- €v\ (24) 2/j» = au* -f £f, 



a, 6, désignant des nombres impairs assujétis à vérifier la condition 



( 2 5) tf = |, 



et m, v des quantités entières qui vérifieront l'une des conditions 



iw = y, uv = y. 



D'ailleurs, le produit aS = j étant de la forme 4 X H~ x > <*■■> & seront tous 



deux de cette forme, ou tous deux de la forme 4* +3; et, comme l'é- 

 quation (23) entraînera les formules (19), en vertu desquelles l'équation 

 (20) donnera 



a — I C — I 

 (26) f— l)~~ = ,, 



il est clair que , dans l'équation (a3), a., €ne pourront être tous deux de 

 la forme (\s. -\- 3. Ils y seront donc l'un et l'autre de la forme 4 X + i- 

 Quant aux valeurs de a, S, contenues dans l'équation (24), elles devront 

 vérifier les formules 



m (!)=©. © = ©, 



desquelles on tirera, en les combinant avec les formules (20), (î5), 



et, comme u*, p* devront être impairs dans l'équation (24), cette équation 

 donnera encore 



(29) 2=a-j-ë, (mod. 8). 



Or, en vertu des formules (28), (29), les entiers a, € , devront être tous 



deux de la forme 8x-j-i, ou tous deux de la forme 8x 4- 5 , si 7 est de la 



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forme 8x-f-i ; et l'un de la forme 8x -f- 3, l'autre de la forme 8x -f-7, si -. 

 «stde la forme 8x-f-5. On peut donc énoncer la proposition suivante. 



