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à-dire de la forme t ■+■ u \/ — 1, les théorèmes qui ont lieu dans les cas 

 ordinaires des entiers réels. Si l'on cherche en particulier à. obtenir le 

 nombre des formes quadratiques différentes qui existent dans cette hypo- 

 thèse pour un déterminant donné, on arrive à ce résultat assez remar- 

 quable, que le nombre dont il s'agit dépend de la division de la lemniscate, 

 de même que dans le cas des formes réelles et à déterminant positif, il 

 se rattache à la section du cercle. Ce qui m'a surtout fait plaisir dans ce 

 travail, c'est le parti qu'on y tire de considérations géométriques et parti- 

 culièrement de la théorie des propriétés perspectives des figures. Au moyen 

 de cet auxiliaire , la question , qui d'abord et considérée d'une manière 

 purement analytique paraît extrêmement compliquée, devient presque 

 aussi simple que lorsqu'il s'agit de déterminants réels. 



» Les recherches dont je viens de vous indiquer l'objet m'ont conduit à 

 un théorème remarquable par sa simplicité, et qui ne paraît pas sans im- 

 portance pour la théorie des équations indéterminées des degrés supérieurs 

 au second , matière encore très peu cultivée. Voici en quoi consiste ce 

 théorème. 



« Si l'équation 



(i) s"-has'-'+ + gs+ h = o, 



» à coefficients entiers, n'a pas de diviseur rationnel, et si parmi ses racines 

 » «, 0,. . . .», il y en a au moins une qui soit réelle, je dis que l'équation 

 » indéterminée 



( 2 ) F foj,-- .z) = <p(«)p(/3)....<p 0)= ,, 

 » où l'on a posé pour abréger 



<p (a) == x + clj + 4- a.-'-'z, 



» a toujours une infinité de solutions entières. » 



» Pour établir ce théorème, il faut d'abord faire voir qu'il existe au moins 

 un entier m tel, que l'équation 



(3) ¥{sc,y,....z)z=m 



ait une infinité de solutions. C'est à quoi l'on peut parvenir par différents 



