( *8 7 ) 

 moyens. Dans le cas du second degré , la chose , qui pour ce cas n'est pas 

 nouvelle, résulte immédiatement des propriétés des fractions continues. 



» L'équation (3) ayant une infinité de solutions, il en existera deux telles, 

 que l'on ait 



F {x,y, z) = m, F (*',/, z') = m, 



et en même temps, / 



(4) x = x', y = /',... z = z' (mod. m). 



Cela posé , si nous considérons la fraction 



g'-f «y + h-""~'z' 



on pourra évidemment [en multipliant par <p(j3). . .<p(co)] lui donner la 

 forme 



X+.Y+ +»'- 1 Z 



m ' 



où X, Y,....Z sont des fonctions entières et à coefficients entiers de 

 x, y,.. . .z, x' , y',-. • .z'. Je dis maintenant que X, Y,. . . .Z sont des 

 multiples de m. Pour le faire voir, admettons pour un instant que dans 

 ces expressions x',y',. . . .z' soient changés en x, /,. . . .z; changement 

 par lequel X, Y,. . . .Z resteront, en vertu des congruences (4), congrus 

 à eux-mêmes. Par le changement dont il s'agit, X -f-aY +. . . .ct"~ 'Z 

 doit devenir égal à m, ce qui ne peut arriver [l'équation (1) n'ayant pas 

 de diviseurs rationnels ] qu'autant que X , Y, .... Z deviennent respecti- 

 vement m, o, . . . .0. Donc X, Y,. . . .Z sont divisibles par m, et la frac- 

 tion considérée plus haut est 



0-t- a» +....+ a.— ■ Ç 



(£, j),, . . .£ étant des entiers); d'où l'on conclut 



F(Ç, «,....0 = 1, 

 solution qui en fournira une infinité d'autres. 



» Parmi les conséquences nombreuses qu'on peut tirer de ce théorème , 

 il y en a une qui se présente pour ainsi dire d'elle-même et consiste en 

 ce que les fonctions que Lagrange a d'abord considérées dans les Mémoires 

 de Berlin , et plus tard dans les Additions à l'Algèbre d'Euler, et qui se 

 reproduisent par la multiplication , si elles peuvent obtenir une certaine 

 valeur, sont dès-lors susceptibles de la même valeur pour une infinité de 



C. R. 1840, !« Semestre. iT. X, N° 7. ; 4° 



