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décomposer l'équation (i) en facteurs rationnels (conditions qui se trou- 

 vent reproduites à la fin de la lettre de M. Dirichlet) pourraient peut-être 

 faire croire que ce savant géomètre a pensé que son théorème ne se vé- 

 rifiait que lorsque ces conditions sont satisfaites. Cependant il existe des 

 cas dans lesquels elles ne sont pas nécessaires. Cela est évident, par exem- 

 ple, lorsque A = db i, quelle que soit d'ailleurs la forme des racines de 

 l'équation (i), et malgré les facteurs rationnels que cette équation pour- 

 rait avoir : en effet, si l'on fait alors 



x = i, J=g, z=a, 



on aura toujours 



0(«) ? (jS)... <p(a0 = (-*")(-/3-)... (-a>»)==bi, 



et par suite 



[<P( a )<P(/3).-- *(»)]•= i, 



équation qui, comme l'on sait, pourra se mettre encore sous la forme 



F(x„jr,... *,) = <p(«)<p(/3)... ç(») = i, 



pourvu que l'on donne aux nouvelles inconnues x,, y„. . . z, , des valeurs 

 convenables, et il sera facile de déduire de là une infinité de solutions de 

 l'équation (2), à l'aide de l'équation 



[F^,, jr, ... z,)} = [<p (*) <p (/S) . . . <p («)]" = 1 , 



où p est un nombre entier positif quelconque. On voit donc que lorsque 

 dans l'équation (i),la quantité h est égale à l'unité, le théorème énoncé 

 par M. Dirichlet se vérifie même lorsque les conditions qu'il avait expri- 

 mées ne sont pas remplies. 



» J'ajouterai ici que ce théorème ne sert, à proprement parler, qu'à 

 trouver des solutions de l'équation (2) , et non pas à résoudre complètement 

 cette équation , c'est-à-dire à en trouver toutes les solutions. La difficulté 

 est infiniment augmentée dans ce dernier cas , et sauf un très petit nombre 

 d'équations qui se rattachent pour la plupart au théorème de Fermât, je 

 crois que ce l'on a fait de plus général à ce sujet consiste dans la résolu- 

 tion complète de cette classe d'équations, que j'ai traitées à l'aide des séries 

 ou que j'ai ramenées à des congruences à module variable (*). Dans les 



(*) Voyez Mémoires de Malhtmaliques et de Physique, Florence, 1829, in— 4 , 

 p. 7 3 et 169. 



