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 équations auxquelles se rapporte le théorème énoncé par M. Dirichlet le 

 nombre des inconnues augmente avec le degré des équations, et d'ailleurs 

 lorsqu'on effectue le produit <p (a) <p (/3) . . . <p(a), comme l'a fait La- 

 grange dans quelques cas, on arrive nécessairement à des équations dont 

 les coefficients ont entre eux des relations qui se vérifient rarement, et 

 qui deviennent très compliquées quand le degré de l'équation fa) augmente. 

 L'équation 



p(a) : <p(/3)... <p(«)=i, 



dont M. Dirichlet trouve une infinité de solutions, est toujours très par- 

 ticulière lorsqu'elle contient plus de deux inconnues ; et dans le cas où 

 elle n'en renferme que deux, on retrouve une équation déjà résolue. 



» Les recherches de M. Dirichlet, qui se rattachent si intimement à cer- 

 tains travaux d'EuIer et de Lagrange, me semblent aussi avoir quelque ana- 

 logie, quant au but du moins, avec des recherches que j'ai publiées il y 

 a long-temps sur les formes qui se reproduisent, et d'où j'ai tiré ce théo- 

 rème, qu'un nombre quelconque est la somme de quatre cubes rationnels 

 positifs (*). 



» N'ayant eu connaissance de la lettre de M. Dirichlet que depuis qu'elle 

 a paru dans les Comptes rendus, il y a quelques heures seulement, je me 

 trouve dans l'impossibilité de donner à ces observations toute l'étendue 

 qu'elles pourraient avoir. Je me bornerai à dire ici que je crois qu'il serait 

 peut-être possible de déduire d'un théorème connu par Euler dès l'an- 

 née 1770, la propriété des formes quadratiques, qui contiennent une in- 

 finité de nombres premiers ; et je terminerai cette Note en répondant à une 

 ancienne remarque de M. Dirichlet (**) sur un passage d'un de mes Mé- 

 moires (***}, remarque qui a été plusieurs fois reproduite en France (****). 

 M. Dirichlet a dit à propos d'une certaine transformation que j'avais em- 

 ployée : ce passage de la somme au produit est à lui seul la question tout 

 entière. Je dois avouer que je n'ai jamais bien compris l'observation de 

 M. Dirichlet; car la transformation que j'ai employée dans mon Mémoire 



{*) Voyez Memoria sopra la Teoria dei numerij Fireiize, 1820, in-4°, p. 16-24.— 

 Mémoires de Mathématiques et de Physique , p. 1 52- 168. 



(**) Journal de Mathématiques, par M. Crelle , tom. XVII, p. 58. 



{***) Voyez Mémoires de Mathématiques et de Physique, p 1 14. 



(****) Journal de Mathématiques, par M. Liouville , tom. III, p. 3. — Comptes 

 rendus de l'Académie des Sciences, séance du 20 mai 1839, p. 796. 



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