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de leurs carrés soit égale à l'unité. On trouvera encore le théorème de 

 M. Libri en défaut, si, continuant à considérer une équation algébrique du 

 second degré, on suppose le dernier terme de cette équation égal à l'unité 

 prise positivement, et le coefficient du second terme égal à l'unité prise 

 positivement ou négativement, comme on voudra (*). 



» Le théorème de M. Libri étant inexact, on conçoit que sa démonstra- 

 tion ne doit pas être rigoureuse. 11 est aisé d'indiquer d'une manière précise 

 le vice de cette démonstration. Après avoir prouvé que l'équation indé- 

 terminée dont il s'occupe a toujours une solution , M. Libri élève les deux 

 membres de cette équation à une puissance entière et positive quelconque, 

 ce qui n'en change pas la forme, et il croit obtenir ainsi une infinité de 

 solutions nouvelles. Mais cela n'arrive pas toujours, car il peut très bien se 

 faire que les solutions auxquelles on est conduit par ce procédé rentrent 

 les unes dans les autres et ne fournissent qu'un nombre limité de solutions 

 véritablement différentes. Non-seulement la circonstance que j'indique ici 

 peut se présenter, mais elle se présente nécessairement dans les exemples 

 que j'ai cités tout-à- l'heure et dans lesquels le théorème de M. Libri est en 

 défaut, bien que la condition exigée par l'auteur pour l'exactitude de son 

 énoncé soit remplie ; c'est ce qu'il est aisé de vérifier à posteriori. » 



(*) Ces remarques deviendront encore plus claires en faisant usage des signes de l'al- 

 gèbre. Soient a, /3, ... a les racines de l'équation algébrique, à coefficients entiers, 



(i) s n -f- as" -1 -J-....-f- gs -\- h = o : 



posons en géne'ral 



<P (*) = * + «T H + a'-'z, 



puis formons le produit ç («) tp (fi). . .p («) = F (x,y, z). Le théorème que M. Libri 

 prétend démontrer consiste en ce que si le dernier terme h de l'équation (i) est égal à 

 ± J, l'équation 



(2) f>(«)p(0)...p(«)=I 



sera satisfaite par une infinité de systèmes de valeurs des nombres entiers x, y, . . .z. 

 Or si l'ou réduit l'équation (i) à l'une des formes suivantes 



s' + i = o , s' ± s -f- i = o , etc. , 

 l'équation (2) devient respectivement 



(x +y V— î) (x — y\/—t)=x*+y' = i, x* + xy+y* = i, etc.; 



et les équations x" +y* = i , x* ■+. xy -\-y* — î n'ont évidemment qu'un nombre li- 

 mité de solutions entières , ce qui met en défaut le théorème de M. Libri . 



