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et même plus généralement 



Sf(A) + Sffra — h) = Sf(aA) + 'sf(«— lf)l 



f(x) désignant une fonction quelconque de x. On trouvera, par exemple, 

 en prenant pour m un nombre entier 



Sh m -f- S(n—hy = S(2h) m + S(«— ïh) m . 



Par des raisonnements semblables, on tirera des formules ( 1 4), ( 1 5), ( 1 6), ( 1 7), 

 comparées aux formules (6) et (7) : 

 i° si «est de la forme 8x -f-. 1, 



t sA m + s(« — h } m = s(ik) m + s (m — ihy, 



( l8 ) { S/h -f- S(n — kY = S( 2 A) m + S(« — ik) m ; 



2 si 72 est de la forme 8x -4- 5, 



ft . i SA» + S (72 — A) m = S(^r + S (72 - a*)", 



v 9 \ SA» + S(n — ^5 = S(a^f -f- S(n — Itytj 



3° si n est de la forme 8x -f- 3 , 



ho) \ Sh " + S ( n ~ k ) m = S ( 2 ^) m + S C» - ?fc 



; t S#» + S (w — /Vp = S (2/2,"* + S(« — 2A)"; 



4° si /i est de la forme 8x + 7 , 



(2IÏ ( SA" + S(« — k)<° = S(27V 4" S (72 — 2AC)" 1 , 



^ u ( SA- + S (n — A)" = S( 2 AY" + S (72 — a hy. 



» Posons maintenant 



(22) S. h" — a m , SA" = t m , 



(23) i = j , / =3 * . 



t sera le nombre des valeurs de 72, et / le nombre des valeurs de k infé- 

 neures a -; tandis que 



s, ou i, 

 représentera la somme de ces valeurs de A ou de A, 



s a ou t t 

 la somme de leurs carrés, 



s 3 ou t 3 



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