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la somme de leurs cubes, etc. . . ; et, si dans les formules (18), (19), (20), 

 (21) , on pose successivement 



m = O , TO = 1 , 7« = 2 , 771=3,... 



on obtiendra des relations diverses entre les quantités 



1 1 ^11 -^1? ^3? • • • ] 1 M! ^ftî *3? • • • 



» Si l'on combine, par voie d'addition, les deux formules (18), ou (19), 

 ou (20), ou (21), on obtiendra seulement des relations entre les sommes 



1 -f- j, s, -f- t, , s^ -f- £ 2 , .£3 -f- t 3 , ... 



dont la valeur est connue, puisque le système entier des nombres des deux 

 formes h et k , ne diffère pas du système des entiers inférieurs à - n , et pre- 

 miers à n. Mais , si la combinaison a lieu par voie de soustraction , on 

 obtiendra des relations entre les différences 



l J , Sj t, , J a — C a , S 3 — — C3 , . . . 



Alors, en posant 



m [-- ©] ^ — - 



en sorte qu'on ait 



(25) 2 ~' (s m — t m ) =v m , pour n = 1 ou 7, (mod. 8), 

 et 



(26) „. (s*. — *m) = Wm, pour /?. = 3 ou 5, (mod. 8), 



on trouvera : i° si n est de la forme 4x-f- 1 , 



r \ i , m(m — 1 ) , 



(27) v m + v — mu,-] L__^ Ua _ dzv m =o; 



2 si n est de la forme 4x -{- 3, 



(38) — u,»4-Wo — 772U.+ m(TO ~~^ y a — etc.. . . ±u„ = o. 



