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 Ajoutons que, si l'on désigne par 



S m ou T„ 

 la somme des m""" 1 puissances des entiers inférieurs non plus à -, mais à 



n, et qui, étant premiers à n, vérifient la condition (4) ou (5), les va- 

 leurs de S„,,T ro , pourront être représentées par les premiers membres des 

 formules (iS) et (19), ou (20) et (21); et que l'on aura en conséquence, 

 i° si m est de la forme 4 X + ' > 



(3 9 ) S m -T»==j.-^+n"(i-/)— »»« - - , (*,-<0+ î ^ =1 ^n"- , (j.-O- etc.; 

 2 si n est de la forme 4 X + 3 , 



(40) S*-T m =s m -t m -n*(i^)+mn—(s l -t l ) -'^Zl} n —'(s -t % )+ etc. 



D'autre part les sommes 



S» -f- T , S, -f- 1 , , î>„ -j- l a , . . . 



seront des quantités connues; et, en nommant N le nombre des entiers 

 inférieurs à n mais premiers à n, on trouvera, si n n'est pas un carré , 



(41) S 3 = T = \ N, S. + T. = N. 



Cela posé, si dans les formules (3g), (4o), on attribue simultanément à 



m les valeurs o , 1 , 2 , 3 , . . . 



on tirera de ces formules: i° en supposant que n soit un nombre, non 



carré , de la forme 4* + l -, 



(4a) i = j, S, = T I , S a — T, = a[j,— t, — n(s l — «,)], etc.; 



2 en supposant n de la forme 4 X ~h 3 , 



(43) S,— T,=a(j,— t t )—7i(i— /), S,— T^ara^— t,)-n*(i—j)„ etc.. 

 et par conséquent 



(44) T a — S, = n (T, — S,),, 

 On trouvera en effet, pour n = 3 , 



T, — S, = 2 — 1 = 1, T 3 — S a =4 — i=3.i; 

 pour n = 7 , 



T. — S,= 3+5 + 6— 1 — 1— 4 = 7, T,— S a = 4 9 = 7 . 7 ; 

 pour n = 11, 

 T,— S 1 =2-|-6+7-r-8-f-io — 1— 3— 4— 5— çt=i 1, T^— S,= 121 = 11.11 ; 



