(45. ) 



pour n = r 5 , 



T, — S,=7+ji+i3+i4— i — 2— 4— 8=3o, T a — S,=45o= i5.3o; etc. 



En combinant les formules (42), (43), (44), av ec les formules (35), (36), 

 (37), (38), on en conclura : i°si n est de la forme 8x -f-i, sans être nn carré. 



(45) i=j, S,=T,, S,— T,=4(f. — s m ), etc....; 

 2° si n est de la forme 8x + 5 , 



(46) 1=/, S,=T,, 3(S 2 — T,)=4C — *.), etc.; 

 3° si n est de la forme 8x -f- 3 , 



(4 7 ) T, — S, = n \=î , T, - S, = n' t~J . etc . . . . 

 4* si n est de la forme 8x -f- 7 , 



(48j T, — S,= n(i— y), T a -S a = «'^', etc.... 



» Si « était un carré impair, alors, la condition (4) se trouvant vérifiée 

 pour tout nombre premier à «, t m et T m s'évanouiraient généralement, et 

 l'on tirerait des formules (35), (3g) , jointes à la seconde des formules (4 1), 



(49) 3^,= ntj , i5j 4 == « ( 1 4-s~3 — ns„), etc.... 



(50) S = ii = N , S, = ni, S a = n*i — ^s^, etc 



» Dans le cas particulier où n se réduit à Un nombre premier impair, 

 les entiers ci-dessus désignés par h ou k ne sont antres que les résidus 



ou les non-résidus quadratiques inférieurs à -. Donc alors i ou y repré- 

 sente le nombre de ces résidus, ou le nombre de ces non-résidus, et 

 s m ou t m la somme de leurs puissances du degré m. Cette même somme 

 devient S m ou T m , lorsqu'on y admet tous les résidus ou non-résidus in- 

 férieurs à m. 



» Parmi les formules qui précèdent, celles qui renferment seulement les 

 trois différences 



ï—f, '•—-*., S, — T,, 



étaient déjà connues, au moins pour le cas où n se réduit à un nombre 

 premier. Ainsi, en particulier, on connaissait les deux premières des for- 

 mules (42); et M. Liouville m'a dit être parvenu à démontrer directe- 

 ment la première des équations (37)011 (38), ainsi que la première des 

 équations (47) ou (48). J'ajouterai que la première des équations (47), 



