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ment donne, pour la hauteur du pavé de la cathédrale de Nantes au-dessus 



du niveau de l'Océan (mer moyenne) i8 m ,72 



Or on a par le parallèle de Bourges en partant de Noirmoutier 



(Descript. géom., I re part, p. 265) i8 m ,'75 



» Une telle concordance est donc bien propre, ce nous semble , à dissiper 

 les doutes que M. Filhon nous parait avoir émis avec un peu trop de pré- 

 cipitation. » 



théorie des nombres. — Méthode simple et nouvelle pour la détermination 

 complète des sommes alternées, formées avec les racines primitives des 

 équations binômes; par M. Augustin C-vucht. 



« Il est, dans la théorie des nombres, une question qui, depuis plus de 

 trente ans , a beaucoup occupé les géomètres , et qui , tout récemment en- 

 core, a été mentionnée dans plusieurs Notes publiées par divers mem- 

 bres de cette Académie. Elle consiste à déterminer complètement la 

 somme alternée des racines primitives d'une équation binôme, ou, ce qui 

 revient au même, la somme de certaines puissances de ces racines, savoir, 

 des puissances qui ont pour exposants les carrés des nombres inférieurs 

 au module donné. Supposons, pour fixer les idées, que le module soit un 

 nombre premier impair. Le carré de la somme dont il s'agit se réduira, au 

 signe près, au module, et sera d'ailleurs positif ou négatif, suivant que le 

 module divisé par 4 , donnera pour reste i ou 3. C'est ce que M. Gauss 

 avait reconnu dans ses recherches arithmétiques imprimées au commen- 

 cement de ce siècle. Mais lorsque du carré de la somme on veut revenir à 

 la somme elle-même, on a un signe à déterminer; et cette détermination, 

 comme l'ont observé MM. Gauss et Dirichlet, est un problème qui pré- 

 sente de grandes difficultés. Les méthodes à l'aide desquelles on est 

 parvenu jusqu'ici à surmonter cet obstacle, sont celles que M. Gauss a 

 développées dans le beau Mémoire qui a pour titre : Summatio serieruin 

 quarwndam singularium , et celle que M. Dirichlet a déduite de la consi- 

 dération des intégrales définies (*). En réfléchissant sur cette matière, j'ai 

 été assez heureux pour trouver d'autres moyens de parvenir au même but ; 

 et d'abord il est assez remarquable que la formule de M. Gauss , qui dé- 

 termine complètement les sommes alternées avec leurs signes, se trouve 

 comprise comme cas particulier dans une autre formule que j'ai donnée 



(*) Voyez aussi un Mémoire de M. Lebesgue, qui vient de paraître dans le Journal di. 

 Mathématiques de M. Lkmville (fe'v. i84p). 



