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en 1817 dans le Bulletin de la Société Phihmatique. Cette dernière for- 

 mule, qui parut digne d'attention à l'auteur de la Mécanique céleste, sert à 

 la transformation d'une somme d'exponentielles dont les exposants crois- 

 sent comme les carrés des nombres naturels; et, lorsqu'on attribue à ces 

 exposants des valeurs imaginaires, on retrouve avec la formule de M. Gauss 

 la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers. Mais la for- 

 mule de 1817 était déduite de la considération des fonctions réciproques, 

 par conséquent de théorèmes relatifs au calcul intégral; et ce que les géo- 

 mètres apprendront sans doute avec plaisir c'est que, sans recourir ni au 

 calcul intégral, ni aux séries singulières dont M. Gauss a fait usage, on peut 

 directement, et par une méthode fort simple, transformer en produit une 

 somme alternée, en déterminant le signe qui doit affecter ce même produit. 

 Cette méthode a d'ailleurs l'avantage d'être applicable à d'autres questions 

 du même genre. Ainsi en particulier l'on reconnaîtra sans peine que, si, n 

 étant un nombre premier, n — 1 est divisible par 3, ou par 5, etc., un 

 facteur primitif de n, correspondant au diviseur 3, sera proportionnel au 



produit de — ~ — facteurs trinômes, tandis qu'un facteur primitif de n, 



correspondant au diviseur 5, sera proportionnel au produit de — ^-^- fac- 

 teurs pentanomes ou composés chacun de cinq termes; et le rapport 

 du produit en question au facteur primitif de n sera la somme de cer- 

 taines racines de l'unité respectivement multipliées par des coefficients qui 

 seront équivalents, suivant le module n, à des quantités connues. J'ajouterai 

 que des formules relatives à la détermination complète d'une somme al- 

 ternée, dans le cas où n est un nombre premier, on déduit aisément les 

 formules analogues qui se rapportent au cas où n est un nombre composé 

 quelconque, et la démonstration du théorème, suivant lequel, dans une 

 semblable somme, ou la plupart des termes positifs, ou la moitié de ces 

 termes, doivent offrir des exposants inférieurs à \ n. 



§ I er . Pâleurs exactes des sommes alternées des racines primitives d'une équation 



binôme. 



» Nommons p l'une des racines primitives de l'équation binôme 

 (1) .r"= 1, 



et A une somme alternée de ces racines , qui soit en même temps une 

 fonction alternée des racines primitives de chacune des équations que l'on 

 peut obtenir, en remplaçant n par un diviseur de n. Si n est un nombre 



