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 et par suite 



Donc, en supposant A déterminé par la formule (i5), on aura, non-seu- 

 lement pour des valeurs impaires du nombre n, mais généralement, et 

 quel que soit ce nombre, 



(20) A = f (, + v/^-i) (i + ef ^'). 



On trouvera en particulier, i°. si n est de la forme 4x, 

 (ai) A = /^(r-f- V/^T); 



2°. si n est de la forme 4 X + 1 , 



(22) A = n r ; 

 3°. si n est de la forme 4 X ■+■ 2 , 



( 2 3) A = o; 

 4°. si « est de la forme 4 X -+- 3, 



(24) A = ra^ v'—i- 



Ainsi, les formules (20), (21), (22), (23), (24), que M. Gauss a établies 

 dans un de ses plus beaux Mémoires, et dont M. Diricblet a donné une 

 démonstration nouvelle qui a été justement remarquée des géomètres, 

 se trouvent comprises comme cas particuliers dans la formule (8), de la- 

 quelle on déduit immédiatement l'équation (20) en attribuant à l'expo- 

 sant — a* une valeur infiniment rapprochée de la valeur imaginaire 



— V — 1, ou, ce qui revient au même, en réduisant l'exponentielle e-"' 



à l'une des racines primitives de l'équation (1), savoir, à celleque détermine 

 la formule (4). 



» Si l'on supposait a* déterminé non plus par la formule (11), mais par 

 la suivante 



(20) a» = g-"V~" "' 



m étant premier à re; alors, en opérant comme ci-dessus , on obtiendrait, au 

 lieu de la formule (20), une équation qui, combinée avec cette formule, 

 reproduirait immédiatement la loi de réciprocité entre deux nombres pre- 

 miers , ou même cette loi étendue à deux nombres impairs quelconques 



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