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§ II. Transformation des sommes alternées en produits. 

 » Soit 



P 

 une racine primitive de l'équation 



(i) x" .'= i , 



« étant un nombre prethier impair. Les diverses racines primitives de 

 l'équation (i) pourront être représentées, ou par 



ou par 



P , p% p 3 ,... p-', 

 r » r ■» r •»•■'• f > 



;ra étant premier à n. Soit d'ailleurs a une somme alternée de ces racines 

 primitives. Cette somme sera de la forme 



(a) A = p h +p h ' + p''"+ ...—p^ — p^~p^"— ..., 



les exposants 



i, 2, 3,... n — i , 



étant ainsi partagés en deux groupes 



h, k', h 1 ,... et k, m, k",.... 



dont le premier pourra être censé renfermer les résidus quadratiques 



r, 4, etc., 



et le second les non-résidus suivant le module n. Si l'on suppose en 

 particulier n == 3 , on aura simplement 



A = p' - p' = p' _ r -, 



en sorte qu'une somme alternée a pourra être représetée, au signe près, 

 par le binôme 



p'-r-, 



ou plus généralement par le binôme 



f m — p~ . 

 m étant non divisible par 3. Si n devient égal à 5, les binômes de cette 



